简谐振动的延伸性教学

王治海,  ,田甜,  ,王庆勇

东北师范大学物理学院 吉林 长春 130024；长春大学理学院 材料科学与工程系 吉林 长春 130022

摘要：文章阐述了简谐振动在力学课程中的延伸性教学的一些实践。主要讨论了在简谐振动的教学中，延伸至量子力学、光学及固体物理的相关课题，并结合科技前沿，拓宽学生的知识面，激发学习热情。

关键词：简谐振动；量子涨落；简正频率

一、引言

《力学》是物理学和相关专业的第一门专业基础课，《力学》的教学不仅要是同学们掌握课程本身的内容和方法[1,2]，更需要帮助同学们梳理大学物理课程学习与本门课的关系，提升《力学》课程在物理类创新人才培养方面的积极效果。

简谐振动是《力学》教学中的一个重点内容，是牛顿定律、能量守恒、（角）动量守恒等基本定律在具体运动形式中的应用。在本文中，笔者将结合自己的教学实践，谈谈将以简谐振动的教学为基础，对其在今后各门课程中的相关知识点衔接中延伸性教学实践。

二、延伸性教学实例

简谐振动作为一种最简单最理想的机械振动形式，已经渗透到了物理学的各个分支。因此，在简谐振动的教学中做适当延伸，将为学生后续课程的学习奠定良好的基础。笔者在延伸性教学方面的尝试如表2所示，下面将展开具体说明。

对于简谐振动的动力学方程

                 (1)

其解即为运动学方程，形式为：

,              (2)

其中（,为振动的振幅）和 (,为振动的初相位)是待定参数。这里，出现两个待定参数，原因在于动力学方程（1）为二阶微分方程，需要两个初始条件才能给出特解。在经典力学的学习范畴内，这两个条件可以分别选为质点的初始位置和初始速度。然而在量子力学中，坐标和动量是一对不对易的共轭量，海森堡不确定关系告诉我们二者不可能同时取确定的值，这是量子涨落的必然结果。因此质点的运动也就不可能被完全确定。此时，笔者在教学过程中向学生介绍，量子力学中用波函数来描述微观粒子在空间某位置出现的概率。相应地，量子力学中描述粒子运动的方程不再是牛顿第二定律，而是薛定谔方程。这样，使同学们初步了解量子力学刻画和描述粒子运动的方法。

当一个质点同时参与两种或多种振动时，我们就需要进行振动的合成[3]。在力学课程中，要求学生掌握频率相同的振动方向垂直的两个简谐振动的合成，合成结果表现为质点的轨迹为直线、椭圆或圆。笔者将力学中的振动合成进行延伸，指出光的偏振特性，包括线偏振、椭圆偏振和圆偏振，这正是物理光学研究的主要内容。同时，进一步拓展，这些光的偏振特性也决定了其与原子耦合的跃迁选择定则，这也是原子系统操控等前沿领域的研究课题。华裔科学家朱棣文因激光冷却和捕陷原子而获得1997年诺贝尔物理奖的工作，就与光的偏振及光-原子相互作用的选择定则有关。目前，光对原子操控的研究将服务于原子芯片的设计，解决国家的重大科技需求。由此可见，基础课上所学的内容与当今科技前沿并不遥远，这些渗透和延伸将极大地激发学生的学习兴趣，获得良好的教学效果。

另一方面，当多个质点存在耦合振动时，将涌现出简正频率的问题，即系统将出现与质点个数相同的独立振动模式。在力学教材中，主要针对两个弹簧系统进行研究，阐述了对称模和反对称模两种振动模式。其实，这里可以继续推广到个质点系统，进行深入讨论。这种系统的一个典型例子是一维单原子晶格的振动问题。作为一道开放性的讨论式问题，笔者介绍了这种周期性系统的处理方法，尤其强调了平移对称性所导致的动量守恒，因此可以引进傅里叶变换，在动量空间进行讨论。这样，通过具体例子，在学生的脑海中建立对称性与守恒量的因果关系，对于学生整个物理课程的学习都是有益的。

综上所述，笔者以简谐振动[5]为例讨论延伸性教学的实践和思考。强调基础课程与后续课程及科技前沿的衔接，目的在于开阔学生的视野，激发学生的学习情趣。希望促进本科教学改革，提高人才培养水平。

表1：基于简谐振动的延伸性教学的具体情况

简谐振动的教学内容	延伸的内容	延伸的目的
简谐振动的运动学方程	量子力学中位置、动量的不确定关系	使学生初步了解量子力学和经典力学对粒子运动的不同描述方式
简谐振动的合成	光的偏振及其与原子的相互作用	使学生初步了解光的偏振性质，通过基础课教学把学生带到科技前沿
简正频率	一维单原子晶格的振动	理解平移对称性如何决定动量守恒，初步了解动量空间的概念

参考文献：

1. 张汉壮,《力学》(第四版)[M], 高等教育出版社.
2. 舒幼生,《力学》(物理类)[M],北京大学出版社.
3. 贾冬梅, 同方向同频率简谐振动合成问题求解方法的研究[J], 电子技术与软件工程,2020(18), 112-113.
4. 常旭, 程思政背景下的问题导向式教学——以大学物理中简谐振动为例[J],物理通报, 2021(5), 11-13.

作者简介：

王治海，男（1984.03-）, 男，东北师范大学物理学院教授，博士生导师。主要从事量子物理和量子光学的理论研究。

基金项目：

2021年度高等学校物理类力学课程教学研究项目《理论、实验和教师教育融合的<力学>教学改革研究》，项目编号：JZW-21-LX-10;吉林省高等教育教学改革研究课题《本科理论课学时压缩下的问题驱动学习的教学模式改革研究》，项目编号：20213F28HKM0038。