全概率公式应用技巧探讨

杨文权

江汉大学人工智能学院 湖北 武汉 430056

摘要: 本文用实例讨论全概率公式如何应用于数学归纳法与递推关系式，来解决复杂概率问题的计算问题，最后讨论全概率公式如何应用于复杂数学期望的计算。

关键词: 全概率公式；数学归纳法；递推关系式；数学期望。

中图分类号:　O172　　　文献标识码　Ａ

全概率公式是概率论中一个非常重要的公式，蕴含了化整为零, 化复杂为简单的数学思想，在概率的计算中发挥着非常重要的作用，应用非常广泛，但是在一些复杂概率计算中用好全概率公式可不是一件简单的事情。本文用实例讨论全概率公式如何与数学归纳法与递推关系式结合，来解决复杂概率问题的计算问题，最后讨论用全概率公式解决复杂数学期望的计算问题。

1. 全概率公式

定理1^[1]：设 是一个概率空间, 为 的一个划分, 且 ，对任何事件 ，有

上式称为全概率公式.

2. 全概率公式用于归纳法

例1 盒中放有 球，其中 个是红球，其余 个是白球，从中不放回抽球．

证明 (1) 第 次取出红球的概率为 ；

(2) 第 次取出红球第 次取出白球的概率 （ ）。

证明 (1) 对 用数学归纳法， 记 为“第 次取出红球”

时，

假设 ， 则由全概率公式

其中 等于新盒中放有 个是红球， 个白球，第 次取出红球的无条件概率，由归纳假设 同理 ，

故

所以，对任意 ，有 。

注意这里全概率公式使用技巧，为计算 ，我们将第一次取球的两种情况作为一个划分使用全概率公式，并且对 和 使用归纳假设。如果将第 次取球的两种情况作为一个划分使用全概率公式的话， 和 是没法计算的。对本题的第二问以及下一题，我们使用同样的技巧。

(2) 对 用数学归纳法，当 时，

假设 ， 则当 时，由全概率公式

实际上是在第一次取出取出红球时第 次取出红球第 次取出白球的条件概率，相当于新盒中放有 个红球， 个白球，第 次取出红球第 次取出白球的无条件概率，由归纳假设 ，同理 ，故

。

由归纳法原理，对任意 ， 。

注：本题还可以用古典概率计算，但是下一题就没有办法用古典概率计算了。

例2 盒中放有 球，其中 个是红球，其余 个是白球，随机取出一球，把原球放回，并加入与抽出球同色的球 只。

证明 (1) 第 次取出红球的概率为 .

(2) 求第 次取出红球第 次取出白球的概率 .（ ）。

证明：(1) 记 为“盒中有 个红球 个白球时，第 次取出红球”，

　　　记 为“盒中有 个红球 个白球时，第 次取出红球第 次取出白球”，

时， ， 假设 ， 则由全概率公式

是在第一次取出红球的条件下，第 次取出红球的条件概率，等价于盒中有 个红球 个白球时，第 次取出红球的无条件概率，有归纳假设

，

同理 ，

故 。

所以，对任意 ，有 。

(2) 对 用数学归纳法，当 时，利用(1)， ，有

假设 ， 则当 时，由全概率公式

实际上是在第一次取出取出红球时第 次取出红球第 次取出白球的条件概率，相当于新盒中放有 个红球， 个白球，第 次取出红球第 次取出白球的无条件概率，由归纳假设 ，同理 ，故

从例1和例2可以看出，盒中红球数和白球数完全相同，抽取方法不同，但是第 次取出红球（白球）的概率是完全一样的，这是很神奇的事情。两种情形下第 次取出红球第 次取出白球的概率都等于第 次取出红球第 次取出白球的概率，这也是很奇妙的地方。

3.全概率公式用于递推公式

例3 甲盒中放有 个红球 个白球，乙盒中放有4个白球，每次从两个盒子各随机取出一球，互换放入另一个盒子中，求互换 次后红球仍在甲盒中的概率。

解 记 为“第 次互换后红球仍在甲盒中”， 则

， ，由全概率公式，当 时

_{得到递推公式， ，将 代人得 ，于是得 。}

4.全概率公式用于数学期望

例4 设 为泊松过程，具有参数 ， 为独立同分布的随机变量序列，与 独立，数学期望存在。求

解 由条件数学期望的性质及全概率公式知

。

参考文献:

［1］中山大学邓集贤等.概率论及数理统计( 上) ［M］． 北京: 高等教育出版社，2009.

［2］李贤平．概率论基础：［Ｍ］．3版．北京：高等教育出版社，2010．

［3］李兆兴,赵国传. 全概率公式及其应用技巧［J］．高等数学研究，2011，14(2): 52－55.

作者简介： 杨文权（1966.01—），男，土家族，湖北咸丰，博士研究生，教授，江汉大学，概率论极限理论。