用数学模型求线段和的最小值问题的教学探讨

李雪

李雪浙江省宁波市第七中学315040

摘要本文从求线段和的最小值问题入手，建立三种数学模型，通过教学培养学生初步掌握数学模型方法，提高数学素养和创新能力.

关键词数学模型模型方法数学素养思维能力

“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构.”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式.《数学课程标准》中提到数学课程改革的核心理念和灵魂主线是“数学应该面向全体学生，提高学生的数学素养”，笔者在平时的教学过程中重视培养学生数学思考的习惯，帮助学生学会从数学的角度去思考问题，努力揭示数学的本质.数学模型教学能够使学生发现其中所存在的数学现象并运用数学的知识与方法去解决问题，本文试图从求线段和的最小值问题入手，探究数学模型教学.

一、两点一线型

如图1所示，已知直线l同侧有A、B两点，在直线l上找到一点P，使PA+PB最小.

解析：如图2所示，以直线l为对称轴，作点A的对称点C，连结BC，交直线l于点P，此时PA+PB最小.

在直线l上任取一点Q（不与点P重合），利用对称轴的性质可得PA=PC，QA=QC，所以PA+PB=PC+PB=BC，QA+QB=QC+QB，利用三角形两边之和大于第三边可得QC+QB>BC，即PA+PB最小.

例1如图3所示，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为.

解析：从图3中抽象出两点一线型：点D、点M和线段AC.根据正方形的性质可得点D和点B关于AC对称，所以连接BD交AC于一点，当N运动到此点时，DN+MN=BM最小，在Rt△BCM中利用勾股定理计算，所以最小值为.

例2如图4所示，AB是⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，D在AC上，且AD=2CD，点P为半径OC上的动点，那么AP+DP的最小值为.

解析：从图4中抽象出两点一线型：点A、点D和线段OC.根据圆的性质和已知条件可得点A和点B关于OC对称，所以连接BD交OC于一点，当P运动到此点时，AP+DP=BD为最小，可以证得△ABD是30°直角三角形，所以最小值为.

二、一点两线型

如图5所示，已知两条直线m、n所夹的角内有一点A，可以在直线m、n上分别找到点D、E，使DA+DE+EA最小.

解析：如图6，以直线m为对称轴，作点A的对称点B，以直线n为对称轴，作点A的对称点C，连结BC，交直线m于点D，交直线n于点E，此时DA+DE+EA最小.

在直线m上任取一点F（不与点D重合），在直线n上任取一点G（不与点E重合），利用对称轴的性质可得DA=DB，EA=EC，FA=FB，GA=GC，所以DA+DE+EA=DB+DE+EC=BC，FA+FG+GA=FB+FG+GC，利用两点之间线段最短可得FB+FG+GC>BC，即DA+DE+EA最小.

例3如图7所示，∠AOB=45°，角内有一点P，PO=10，在角的两边上有两点Q、R（均不同于0），且P、Q、R不在同一直线上，求△PQR周长的最小值.

分析：从图7中抽象出一点两线型：点P和射线OA、OB.分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连结CD，分别交OA、OB于点E、F，当点Q与点E重合，点R与点F重合时，C△PQR=PQ+QR+RP=CD最小，可以证得△COD为等腰直角三角形，所以最小值为.

三、两点两线型

如图8所示，已知两条直线m、n所夹的角内有两点A、B，在直线m、n上分别找一点E、F，使EA+EF+FB最小.

解析：如图9所示，以直线m为对称轴，作点A的对称点C；以直线n为对称轴，作点B的对称点D，连结CD，交直线m于点E，交直线n于点F，可以证明EA+EF+FB最小.

在直线m上任取一点G（不与点E重合），在直线n上任取一点H（不与点F重合），利用对称轴的性质可得EA=EC，FB=FD，GA=GC，HB=HD，所以EA+EF+FB=EC+EF+FD=CD，GA+GH+HB=GC+GH+HD，利用两点之间线段最短可得GC+GH+HD>CD，即EA+EF+FB为最小.

例4已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴分别交于B（1，0）和C（5，0）两点.若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E）再到达抛物线的对称轴上的某点（设为点F）最后运动到点A.求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长。

解析先求出抛物线的解析式：，并画出图形，如图10所示，从中抽象出两点两线型：点A、点M和直线x=3、直线x轴.分别作点A关于直线x=3的对称点和点M关于直线x轴的对称点M′，连结A′M′，分别交直线x轴于点E，交直线x=3于点F，根据对称点坐标特征容易求出A′(6，3)，M′(0，)，从而得到直线A′M′的解析式：，利用点E的纵坐标为0，点F的横坐标为3，可求得，当动点P从点M出发，沿如图10所示的M—E—F—A的路径运动到点A时，总路径最短ME+EF+FA=A′M′利用两点间距离公式求得

例5如图11所示，已知在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（2，-3），B（4，-1），求下列情况下的动点，使相关图形的周长最短.

（1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p=_______时，△PAB周长最短；

（2）若C（a，0）和D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=_____时，四边形ABCD的周长最短；

（3）设M、N分别为x轴和y轴上的动点，请问是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n）使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m=______，n=______（不必写解答过程）若不存在，请说明理由.

解析（1）从图12中抽象出两点一线型：点A、点B和直线x轴.作点A关于直线x轴的对称点A′，连结A′B，交直线x轴于点P，根据A′（2，3），B（4，-1）求得直线A′B的解析式：，利用点P的纵坐标为0，求出.

(2)从图13中抽象出两点一线型：点A、点B和直线x轴.因为，所以要使四边形ABDC的周长最短，只要AC+BD最短.作点A关于直线x轴的对称点A′，将点A′向右平移3个单位长度，得到点A″，连结A″B，交x轴于点D，再将点D向左平移3个单位长度，得到点C，连结A′C，可以证得此时四边形ABDC周长最小，利用对称点坐标特征求得A′（2，3），再利用平移坐标特征求得A″（5，3），根据A″（5，3）和B（4，-1）求出直线A″B解析式：y=4x-17，可得D，从而求得a=.

(3)从图14中抽象出两点两线型：点A、点B和直线x轴、直线y轴.分别作点A关于直线y轴的对称点A′和点B关于直线x轴的对称点B′，连结A′B′，分别交x轴于点M，交y轴于点N，连结AN、NM、MB，此时四边形ABMN周长最短.利用对称点坐标特征求得A′（-2，-3），B′（4，1），从而求出直线A′B′的解析式为y=，当y=0时，求得m=；当x=0时，求得n=.

综上所述，巧妙运用一些基本图形的数学模型及其结论，可以将复杂问题简单化，使学生在较短时间内抓住问题的本质，既可以防止无关信息的负面干扰，又能从“点到点”的思维模式上升到“块到块”的思维模式，从方法论的角度提高学生思维的敏捷性，达到举一反三、触类旁通的目的.在根据数学课程标准“要讲推理，更要讲道理”的要求，教师更应该在教学中不断创新、发掘好的方法和途径来提高学生的数学素养和创造性解决问题的能力，笔者认为数学模型教学不失为一种好的方法和途径.