新课标背景下立体几何-----多面体的外接球基本问题与解决策略

黄金昆

南安市蓝园高级中学  福建南安  邮编362321

【摘  要】：立体几何是高中数学程中培养学生抽象思维能力，直观想象能力和逻辑思维能力不可成缺的重要内容,立体几何的教学应构建学习立体几何的一般思路和方法，循序素进地安排训练，关注基本图形的作用，通过基本问题的解决策略来发员学生直观想象、逻和推理等学科核心素养，解决这类问题就需要还原几何体的实际形状。简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点。考查球与几何体的切接问题及空间想象能力，考查球与几何体的切接问题及空间想象能力、计算求解能力。在解题中的应用此类问题实质：是解决球的半径长或确定球心的位置问题，其中球心的确定是关键。

【关键词】：新课标 立体几何外接球 解决问题的策略 数学建模

一．由球的定义确定球心

在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．

1.球的性质：

用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面， 截线是圆

大圆--截面过球心,半径等于球半径R;

小圆--截面不过球心，半径为r      

2. 球心和截面圆心的连线垂直于截面       
3. 球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径为r的关系：       。

二．常见题型

1.正方体或长方体的外接球

长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．

已知正方体的长、宽、高分别为a、b、c且它的8个顶点都在球面上，求这个球的半径？

长方体外接球的直径等于长方体的体对角线A1C,即有半径公式

2. 构建正方体或长方体

例1.若三棱锥A-BCD的三条侧棱AB,AC,AD两两垂直，且侧棱长均为 1，求外接球的表面积。

解：以A为顶点AB,AC,AD为三个临边，因为三条侧棱AB,AC,AD两两垂直构建长方体，根据模型可得

    

例2.如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，求其外接球的半径．

解：依题意构建长方体，根据模型可得

  

例3.已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，是边长为2的正三角形，，分别为、的中点，，求球的半径。

                      

解析：根据经验判断平面，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.

解:为边长为2的等边三角形，

为正三棱锥，

，又，分别为、中点，，，

又，平面，

平面，，

为正方体一部分，，即

3、确定球心位置法

由性质确定球心利用球心与截面圆圆心的连线垂直于截面圆及球心与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．

例题4.设所有棱长都为2的正三棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的半径。

解：三角形ABC的外接圆的圆心为N,垂直底面的作MN,则球心在MN中点。设球的半径为R,三角形ABC的外接圆的半径为r,由余弦定理可知，根据勾股定理可得

例题5.已知是球面上不共面的四点

平面平面，则此球的半径。

【解析】：直角三角形ABC的外接圆的圆心在斜边BC中点E，球心位于E正上方O处，根据勾股定理就可以求球的半径.

解：如图所示，设球心坐标为 ，连结 ，交 于点 ，

连结 ，由题意可知：  ，设球的半

径 ，由题意得

由勾股定理可得：

 

例题6.已知是球面上不共面的四点

平面与平面夹角为，则此球的半径。

【解析】：如图所示等边三角形ABC的外接圆的圆心，球心位于正

上方O处，同理等边三角形BCD的外接圆的圆心，球心位于正上

方O处,由二面角定义可知，三角形ABC的外接圆的半径为r,由余弦定理可知

,

根据勾股定理就可以求球的半径.，由题意得

    通过上述几题的分析，我们不难看出：其解题关键是在于确定球心在多面体中的位置，找到球的半径或者直径与多面体相关元素之间的关系，结合原有多面体的特性求出球的半径，然后再利用球的表面积和体积公式进行正确计算，常见的方法是将多面体还原成正方体和长方体中再去求解，锥体的外接球问题的关键是确定球心位置：锥体的外接球的球心一定在过底面的外心与底面垂直的直线上。通过构造直角三角形，确定半径。