建立函数模型解决实际问题

李艳妮

运城盐化中学

一．单元教学内容

本节主要是引导学生通过建立函数模型解决实际问题。主要包括：在实际情境中从数学视角发现和提出问题，收集数据，分析问题，构建模型，确定参数，计算求解，检验并改进模型，最终解决实际问题。完成数学建模活动，并根据要求撰写研究报告。

二．单元目标

1.经历从实际情境中用数学的眼光发现问题，提出问题的过程，发展数学抽象素养。

2.掌握分析问题和解决问题的能力，提高“四能”。

3.经历建立模型和检验模型的过程，发展数学建模素养。

三．教学问题诊断分析.

学生学习过一次函数，二次函教，幂函数，指数函教，对数函数等概念和性质。对初等函数比较熟悉，初步具备建立函数模型的知识基础，但对于如何建立模型尚不明确，选择函数模型是本节课的难点,对于函数模型的选择，要让学生知道函数模型的选取是多样的，通过分析探究，交流合作，小组展示，师生释疑等环节，设计环环相扣的问题，引导学生思考，对比，选择最优模型。

四．教学支持条件分析.

借用图形计算器对数据进行分析-画散点图，根据散点图选择函数模型，观察函数模型和实际数据的吻合程度，通过计算相关指数 对所选函数模型进行评价，寻找最优函数模型。

五．教学过程设计.
(一).课时教学内容
本节主要内容是建立函数模型解决实际问题，引导学生发现生活中所蕴含的数学信息，提出数学问题，分析问题，用函数模型解决问题。
(二).课时教学目标

1.会从数学视角发现生活中蕴含的数学信息，提出问题。
2.掌握分析问题，解决问题的能力。
3.经历建立模型和检验模型的过程，发展数学建模素养。
(三).教学重点与难点
重点：函数模型的选择和建立
难点：函数模型的选择
(四)教学过程

1.情境引入

我们生活中有很多问题都需要用数学知识解决，比如十一假期即将到来，商场需根据以往的销售数据策划新的销售方案，从而使利润达到最大。我们每天看的天气预报等等，这些都需用数学建模的知识。

设计意图:从实际生活出发，引入问题，让学生感受数学的应用价值，通过设疑，引入主题，让学生初步认识数学建模。

2．知识探究

(1).观察实际情况，发现和提出问题

课前我们已经完成了课题的选择：根据某同学的身高和体重来判断该同学是否超重。课前大家已经收集了数据，哪个组可以把收集好的数据和大家分享一下，我们一起根据这组数据来完成做题和结题环节。

设计意图：引导学生发现生活中的数学信息，后提出问题，完成课时目标1

(2).收集数据
学生活动：分享所收集的数据。（板书：收集数据）

小组展示：收集了12名不同身高的男同学，其身高和体重数据如下表所示：

编号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
身高/cm	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170
体重/kg	6.13	7.90	9.99	12.20	15.00	17.50	20.90	26.90	31.10	38.90	47.50	55.10

(3).分析数据，建立模型

这些点呈上升趋势，分布在某条递增的函数图象附近，以小组为单位讨论,探究你们认为适合的函数模型，同学们可以参考课本P162页，类比探究茶水水温的变化规律来探究身高和体重的变化规律。

小组活动：各小组拿出一个方案，小组之间进行交流，提出建模方案，选出函数模型，计算模型中的参数，求解函数模型并用图形计算器作出函数模型的图象。

函数模型

组一:一次函数模型

组二:二次函数模型

组三：指数模型

组四：指数模型

第三组指数型的底数 的计算，直接代入一组数据求 ，这与第四组用比值的平均值作为 建立函数模型有什么差异？选取一组数据具有偶然性，选平均值更能反映所有数据的变化趋势。直接用表格中的一组数据求 的值与用比值的平均值求 建立函数模型是有差异的，对这两种方法所建立的模型与实际数据的吻合程度比较，哪个模型最贴近实际数据呢？下面我们用所学的相关指数

来选取最优模型。
设计意图：通过自主探究，合作学习不仅体现了学生的主体地位，而且还可以让学生在探究过程中体会数形结合的思想，提高学生分析问题，解决问题的能力，完成课时目标2

(4).检验模型

（分析：分子 是残差的平方和，越小模型越好，分母 是定值， 越接近于0越好，所以相关指数 越接近1，函数模型和实际数据的拟合程度越好）

接下来各组计算所选模型的相关指数

_组一:一次函数模型 相关指数_，说明身高解_{释了92.92%的体重变化。}

_组二:二次函数模型 相关指数_{，说明身高解释了99.55%的体重变化。}

_{组三：指数模型} 相关指数_，说明身高解释了99.65%_{的体重变化。}

_{组四：指数模型} 相关指数_，说明身高解释了_{99.72%的体重变化。}

通过以上数据可以看到第四组指数模型 最接近1，模型四是最优模型，所以用比值的平均值求 建立函数模型更能反映所有数据的变化趋势。

（5）.求解问题

根据第四组最优模型计算，若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦.问：某男同学身高176cm,体重77kg，该同学是否超重？（板书：解决实际问题）

学生展示

将 代入指数模型得

体重

偏瘦

标准

偏胖

得到结论:该同学体重在标准范围内。
设计意图: 让学生通过探究的活动的形式合作交流，让学生经历数学建模的完成过程，在开放、民主的教学氛园中发现问题，探究新知，完成课时目标3.

3．撰写研究报告

教师指导学生以人教版第一册 为模板，撰写研究报告。

4．课堂小结

师生活动：这节课我们学到了什么？还有什么疑问？本节课的内容概括如下：

（五）.目标检测设计

以小组为单位选一个课题进行研究并撰写研究报告，课后我们进行交流展示，期待大家的研究成果。