从一道数学月考题谈起

周佑

贵州省册亨县民族中学 贵州省 黔西南布依族苗族自治州 562400

函数问题在高中数学中占有重要的地位，历年高考中都会涉及到数学的函数问题，正因为函数是高考命题的热点问题，也是学生在学习中感到很困惑的问题，特别是有一类函数问题，学生感到能做，但又经常做错，甚至经常会犯思维定式等一系列问题的试题，本人就这类问题，从一道数学月考试题谈起，该试题如下：

_{题目：已知函数}

该题其实是一道复合函数求定义域的问题。这类题不少学生认为很简单，其实不然，在月考中有不少学生都认为自己做对了，都一直同仁地认为很简单，他们是这样解这道试题的。

解： ， 将 看作一个整体，从而就有 ，由于对数中的真数大于零，所以 ，得 所以解得 ，所以所求函数 的定义域为 ，由于函数的定义域关于原点对称，又因为 ，所以 ，所以 为奇函数。该种解法是我们在数学教学中常用的配凑法，从解的过程来看，好像没有什么问题，有部分教师利用“小猿搜题”得到的答案不仅与上述结果一样，而且解法完全相同，那这种解法是否就是正确的解法呢？我们再看另一种解法。 ，令 ，由 得 ，所以 ，由 得 ，可解得 ，又因为 ，所以 的定义域为 ，由于函数 的定义域不关于原点对称，所以函数 为非奇非偶函数。第二种解法是我们在数学教学中的另一种常用的解题方法，称为换元法，两种方法得出的结果截然不同。是什么原因导致两种结果不同呢?我们看看该题目其实质主要是考查复合函数求定义域的问题，那怎样求复合函数的定义域呢？首先要知道什么是复合函数以及复合函数的求解方法，型如 ，又 ，且 值域与 定义域的交集不空，则函数 叫 的复合函数，其中 叫外层函数， 叫内层函数，简而言之，所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。对于有关复合函数定义域问题的求解方法我主要从以下两种类型进行分析。

方法1：配凑法就是在 中把关于变量 的表达式先凑成 整体的表达式，再直接把 换成 而得 。

方法2：换元法就是先设 ，从中解出 （即用 表示 ），再把 （关于 的式子）直接代入 中消去 得到 ，最后把 中的 直接换成 即得 ，这种代换遵循了同一函数的原则。

该道试题主要就是以配凑法和换元法进行求解的，通过配凑将 中的 配凑出来，再将 整体换成 从而得 这一过程没有出错，错在求解定义域时，没有认真审题，而已知的函数就是一个对数型复合函数，自身就隐藏着自变量 的取值范围问题，学生在解题过程中只考虑到配凑后新函数中的自变量 需满足的条件，忽略了原来函数中自变量 所受的限制条件，从而导致最终结果出错；第二种是换元法，该题通过配得到式子中含有 ，便于好换元，令 又因为 自身为一个非负实数，所以 恒成立，即 ，从而最终将 时就隐藏了原来函数中的自变量必须满足 这限制条件，这样才能保证换元之后的函数和原函数为同一函数，也是我们在教育教学中利用换元思想时应高度重视的问题，也是我们数学教学中常说的换元也就引进新元，千万不能忘记的问题就是新元的范围，正是这样上述第二种解法遵循了这一原则，最终得出正确的答案，从这道月考数学试题可以看出，求函数的定义域是多么的重要，只有定义域求对了我们才能更好地解决其他与函数有关的相关问题，为了更好地掌握求复合函数的定义域，我将常见的三种求复合函数定义域的题型介绍如下：

一、已知的定义域，求复合函数的定义域

由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若 的定义域为 ，求出 中 的解 的范围，即为 的定义域。

例1 已知 的定义域为 ，求 定义域。

解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即

即 或 。故 的定义域为

【评注】所谓定义域是指函数中自变量 的取值范围，因此我们可以直接将复合函数中 看成一个整体 ，即由 可得 ，解出 的范围即可。

二、已知复合函数的定义域，求的定义域

方法是：若 的定义域为 ，则由 确定 的范围即为 的定义域。

例2 若函数 的定义域为 ，求函数 的定义域

解 ， ，

故函数 的定义域为

【评注】由 的定义域为 得 ，有的同学会误将此 的范围当作 的定义域，为了更易分清此 非彼 ，我们可将 令成一个整体 ，即 ，先解出 的定义域，即为 的定义域。

三、已知复合函数的定义域，求的定义域

结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由 定义域求得 的定义域，再由 的定义域求得 的定义域。

例3 已知 的定义域为 ，求 的定义域。

解 由 的定义域为 得 ，故

即得 定义域为 ，从而得到 ，所以

_故得函数 的定义域为

_{总之，求解函数定义域的方式方法至关重要，特别是复合函数的定义域的求解方法，求复合函数的定义域是我们教学的重点，也是学生学习中的疑惑点，所以很有必要了解和掌握复合函数求定义域的方法，只有将函数定义域求对了，函数的其他问题才有可能迎刃而解。}