积的变化规律的共性阐述

裴照运

广西壮族自治区钦州市钦北区板城镇倒流教学点，广西壮族自治区 钦州市 535023

摘要：数学是小学教学中的重要科目，积极的讨论分析数学的教育方法对于教育教学效果提升有突出的作用。从现阶段的实践研究来看，在小学教育实践中，帮助学生寻找具体知识内容的规律，使其构建数学学习的思维模型，这于学生的学习而言是有积极意义的。就小学四年级的具体教学来看，乘法是学习中的重要内容，让学生掌握乘法学习中积的变化规律共性，这于学生学习实践效果提升帮助巨大。文章就对积的变化规律共性做阐述与分析，旨在指导实践教学工作。

关键词：积；变化规律；共性

小学数学教学的目的主要有两个，其一是让学生掌握基本的数学常识和相关内容，为后续的学习打好基础^[1]。其二是帮助学生建立数学学习思维，使其在数学的学习过程中有更正确、科学的思维模型与方式。对小学数学四年级的具体教学进行分析会发现在教学中，积的变换规律是学习的一个难点，同时也是学生必须要掌握的一个重点，所以需要对此部分内容进行具体的阐述，这样，相关的教育推进效果才会更加显著。

1. 问题的引出

对现阶段四年级数学中积的变换规律内容进行教学分析发现大多数的学生只掌握了一种计算形式：即在乘法算式中，一个因数不变，另一个因数乘或者是除0除外的一个自然数，积也要乘或者是除该自然数^[2]。这种情况是两个因数中只有一个在变化，当两个因数均发生变化的时候，不少学生便无从下手了。就具体的题目讲解来看，会遇到较多的两个因数都在变化的题目，例如：

例1：一个因数扩大3倍，另一个因数也扩大3倍，那么积？

例2：两个因数相乘的积是45，如果其中的一个因数扩大了4倍，另外一个因素则缩小4倍，那么积是？

2. 问题的解决

针对上述的具体问题，在积的变化规律总结中主要的另外两种形式如下文所述。1）在乘法算式当中，一个因数在乘或者是除一个除了0之外的自然数时，另一个因数乘或者是除另一个除0之外自然数，最终的积就乘或者是除这两个数的积。2）在乘法算式中，当一个因数乘以一个不为0的自然数，且另一个因数除以该自然数的时候，最终的积保持不变。就两种形式的具体分析来看，形式1主要运用的是两次乘积的变化规律，即保留一个因数不发生变化，第二个因数扩大某倍，根据积的变化规律，最终的乘积也要扩大相应的倍数。之后，扩大的因数保留不变，第一个因数再进行某个倍数的扩大，根据积的变化规律，第一次扩大某倍的乘积也要再进行相应的扩大^[3]。基于此规律，最终的结果就是将两个因数扩大倍数的积。基于此，例1中答案便是扩大9倍。

形式2表明一个因数乘以一个数，另一个因数除以一个数，且乘和除的这个数均不为0的时候，只要这两个数是相同的，那么最终的积就不会发生变化。其实际上运用的也是二次积的变化规律^[4]。第一次将一个因数扩大了若干倍，最终的乘积也要扩大若干部。第二次把另外的一个因数缩小了若干倍，相当于将原来扩大的乘积再缩小相同的倍数，所以最终的乘积是不发生变化的，基于此，例2中的答案依然是45。

3. 总结与分析

从上文中2个题目的具体解决来看，在一个乘法算式中，形式1的变化主要表现是两个因数同时扩大各自的倍数或者是同时缩小各自的倍数，而形式2的变化则主要表现的是一个因数扩大某倍的同时另一个因数缩小相同的倍数，无论是形式1还是形式2，其具体的表现中两个因数均在发生变化^[5]。此时做这样的设想，如果两个因数都在发生任意的变化，那么最终的积又会表现为什么样的结果。

从数学教学实践来看，很多老师认为两个因数都在任意变化的情况下，最终的积是没有规律可循的，其实不然。在两个因数均发生任意变化的时候，积的变化规律以及两种形式都会有特殊的变化。从一般的习惯认知来看，通过具体的分析总结可以得出这样一个相同结论，积的变化与因数的变化是相同的，这是积的变化规律的一种共性，即因数不管发生什么样的变化，积也会随之出现相同的变化。

基于这种共性行为做深入的分析，使用代数知识进行共性行为的表示，可以获得相应的代数式。那么积的变化规律可以表示为：在一个乘法算式中，当一个因数乘以A倍，另一个因数乘以B倍的时候，最终的乘积便是1×A×B，其中A和B均不能等于0，1具体指的是原有的乘积。如果A和B是真分数，因数就是在缩小，当倍数A和B是假分数的时候，因数会明显扩大。基于理论分析，可以就积的变化规律总结一个完整的表格（如下）

情形	一个因数	另一个因数	积
1	扩大A倍	扩大B倍	扩大1×A×B
2	扩大A倍	缩小B倍	扩大1×A÷B
3	缩小A倍	扩大B倍	缩小1÷A×B
4	缩小A倍	缩小B倍	缩小1÷A÷B

表中的A和B表示任意数，但是其不为0，1表示的是原有的乘积。

就表中的四个代数式分析来看，1×A×B、1×A÷B、1÷A×B、1÷A÷B可能是整数，也有可能是分数。在进行四个代数式运行的时候，可能会出现较小的数除以较大的数，也有可能遇到除不尽的情况，所以遇到这种情况的时候用分数进行表示即可。从基于上述的表进行分析会发现积的变化规律一目了然，在教学中，让学生基于表中的积的变化规律共性做记忆和利用，在遇到具体问题的时候，相应的问题解决效率和质量会更显著。

结束语：

综上所述，在小学数学教学实践中会遇到一些学生学习比较困难的知识内容，而且这些内容是教学考察中的重点。面对这样的情况，老师们需要基于具体的内容总结规律并让学生们掌握规律，这样，学生的整体学习效果才会更加突出。积的变化规律共性分析与讨论对解决目前教学实践中的教学难点有积极的作用，所以文章针对相关内容展开分析，最终的目的是要指导实践。

参考文献：

[1]曾凤鸾.小学数学规则教学的过程和方法刍议[J].读写算,2018,000(019):155.

[2]冷向廷.新课改下小学数学教学方法创新初探[J].新教育时代电子杂志(教师版),2018,000(027):66.

[3]王成军.对小学数学教学方法的探索:以乘法分配律的教学为例[J].现代教学,2019.

[4]张宇.新课改视野下的小学数学与初中数学教学方法衔接探析[J].读与写(教师),2018,000(012):1-1.

[5]邵银舞.小学数学"找规律"题型教学实践与方法[J].好家长,2018(17):248-248.