《一线三等角——相似三角形知识拓展》

张运春

沐川县实验初级中学

相似三角形，是初中几何学习的重要内容，也是中考考查的重要内容，但是统观近几年的中考考题，单纯考查证明两个三角形相似的知识很少，几乎都是考查它与函数、与圆等知识的综合运用。而且从各地近几年中考题当中可以发现，一线三等角这一模型是最近几年考试的热门模型，鉴于此，于是我就想在教学中给学生补充这一模型，并且让学生能够快速认识这一模型，并且能够利用这一模型提升解题技能。

根据这一目标，这堂课我主要设计了以下七个环节:

（一）整理旧知，提炼模型

这一环节，根据学生的认知规律，我设计了如下四个问题：

问题1：如图1，等腰直角三角形ABC的顶点B在直线l上，AB=BC，∠ABC=90°，AD⊥直线l于点D，CE⊥直线l于点E． 求证：△ADB≌△BEC

图1 图2 图3 图4

问题2：如图2，已知点A、C、E在同一条直线上，∠A=∠BCD=∠E=90°，图中三角形相似吗？请说明理由。

问题3：如图3，已知已知点A、C、E在同一条直线上，∠A=∠BCD=∠E=60°，图中三角形相似吗？请说明理由。

问题4：如图4，已知点A、C、E在同一条直线上，∠A=∠BCD=∠E=120°，图中三角形相似吗？请说明理由。

（二）揭示本质，提炼模型

第一环节的四个问题，由学生很熟悉的两个三角形全等的图形引入，逐渐弱化条件，从而发现当一条直线上有三个相等角的顶点都在这条直线上，从而所构成的三角形相似。归纳出这一模型之后，马上强调，以后在做题的过程中，如果碰到一线三等角这一模型的图形，就可联想到有三角形相似，从而可以得出对应边和对应角的关系。

（三）模型运用

学生只是认识了这一模型，还不够，于是我又接着设计了这一环节，让学生能快速识别并写出相似的三角形。于是我设计了一组练习题，如下：

下列各图形中，若∠1=∠2=∠3，请你快速找出图中符合“一线三等角”模型的相似三角形。

（1）ABCD是正方形 （2）D为BC上任意一点 （3）E为AD上任意一 点

学生在做完这一组练习之后，帮助学生归纳两个一线三等角模型的相似三角形，对应角的位置之间存在一种交错的对应关系，这一方法，主要便于学生以后碰到一线三等角模型的相似三角形，从而可以快速确定边、角之间的对应关系。

（四）实战演练，知识运用

学生通过上一环节，已经能够比较快速找出相似三角形，可是学习一线三等角模型的主要目的，是便于更好的提升解题技能，围绕这一目标，我设计了以下练习：

例1 如图1，已知D为△ABC的边BC上一点，若∠B=∠C=∠EDF=60°，BE=6，CD=3，CF=4，则BD= .

例2 如图2，矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使点D与CB边上的点E重合，若AD=10，AB= 8，则EF= .

例3 如图3，等边△ABC的顶点B与原点重合，点C的坐标

为（5，0），DE∥BC，且DE=3. P为DE上的一个动点（不与D、E重合），使∠BPQ=120°. 若设DP=x，EQ=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

图1 图2 图3

（五）挑战自我，更上层楼

例4： 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P为BC上的动点.

小慧拿含45°的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，三

角板可绕P点旋转．

（1）当三角板的两边分别与AB、AC交于点E、F时，求证：

△BPE∽△CFP；

（2）将三角板绕点P旋转到下图情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）

（3）在（2）的条件下，连结EF，△BPE与△PFE是否相似？若不相似，则动点P运动到什么位置时，△BPE与△PFE相似？请说明理由．

（1） （2）

（六）大胆交流，共同提高

这一环节是每堂课必不可少的课堂小结，通过提问“通过今天这节课的学习， 你都有哪些收获？”让学生思考，今天这节课我都学了什么？在学习过程中有哪里还存在困惑，让学生大胆交流，能够达到大家能够共同提高。

在备战中考的过程中，时间紧，任务中，所以我就想到通过这样的一条学习线路，把相近的有联系的知识串起来，从而让学生的复习更高效。

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