双曲线的定义及其应用

缪春玲

云南昭通市鲁甸县第一中学缪春玲

平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点轨迹叫做双曲线.

一、判定点的位置

例已知、是双曲线双曲线的右顶点，在双曲线的右支上（点不在轴上），的内切圆与轴切于点，则点的位置在（）.

A、点的左侧B、点的右侧C、点处D、不能确定

解如图8，设圆利用切线长定理可知

故在双曲线的右支上.

又∵点的轴上，所以和重合.故选C.

二、确定离心率

例2已知、是双曲线的左右焦点，过且垂直于轴的直线交双曲线于、两点，若为锐角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（）.

三、求轨迹方程

例已知双曲线过点、，它的一个焦点是抛物线的焦点，求它的另一个焦点的轨迹

由椭圆定义可知，点的轨迹是以为焦点，长轴为10的椭圆，其中心是（1，4）

六、求三角形的面积

七、求最值

解如图11，利用双曲线的第一定义可知

若在双曲线标准方程的推导过程中作如下改动：

设是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c（c＞0），那么焦点的坐标分别是、，又设点与的距离的差的绝对值等于常数.

据定义可知，双曲线就是集合：

（9）式是一个全新而又具有明显几何意义的式子.