关于导数几何意义的教学思考

朱乾东

朱乾东陕西科技大学附属中学高中部

【摘要】新课程改革后，导数内容在高中数学中的位置越来越重要，是高考考察的热点。导数是新增内容，高中阶段也没过多的铺垫知识，所以给教学也提出了新的挑战。在教学时，只有正确把握大纲要求，合理设计教学和正确完美地呈现概念的内涵才能促进学生对导数相关概念的正确理解与应用。本文结合个人教学实践谈谈对导数几何意义的教学体会。

【关键词】导数几何意义切线可导充分不必要条件

【中图分类号】G632【文献标识码】A【文章编号】1674－4810（2010）07－0118－02

对于导数几何意义的教学，笔者认为应该设计好两个知识点的教学情境，即切线的定义和导数的几何意义。

一切线的定义

在北师大版高中数学选秀2－2导数的几何意义这一节首先就给出了切线的定义。切线的定义：见图1，设函数y＝f（x）的图像是一条光滑的曲线，从图像上可以看出：当Δx趋不同值时，可以得到不同的割线；当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f（x）趋于点A，割线AB将绕点A转动，最后趋于直线l。直线l和曲线y＝f（x）在点A处“相切”，称直线l为曲线y＝f（x）在点A处的切线。

这种定义采用了逼近方法，将割线的趋于确定位置的直线定义为曲线的切线，不仅直观反映了切线的本质，这种逼近思想又跟导数联系起来，很自然地把导数跟切线的关系拉近了。但是这种定义来得比较突然，以前我们的学生只接触过特殊曲线圆的切线，但圆的切线定义并不适用于一般曲线的切线，因此我们得慢慢过渡，设计问题情境把圆的切线推广到一般曲线的切线。我们可以这样来设计：

问题导入：

以前学习过的圆的切线是这样定义的：如果一条直线l与圆只有一个交点，则直线l为圆的切线，唯一交点为切点。能否将这种定义推广到一般曲线的切线呢？即定义直线和曲线有唯一交点时，直线为曲线在该点处的切线。老师引导学生举出一个例子：

见图2，l1虽然与曲线只有唯一交点但不是该曲线的切线，l2虽然与曲线有两个交点但它是曲线的切线。

通过刚才问题情境的设置不仅否定了刚才的这种推广，更是激发了学生的求知欲，引导学生积极主动去探求切线一般的定义，这样既让学生深刻的理解了切线的定义，又提高了他们的学习兴趣，还引导了学生学会利用几何直观去思考解决问题。

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二导数的几何意义

理解了切线的定义后，我们可直接结合前面所讲的导数的概念得出导数的几何意义，即函数y＝f（x）在x0处的导数，是曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率。函数y＝f（x）在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义，在这里适当回顾导数的概念（瞬时变化率）来帮助学生理解导数的几何意义，没必要过多地讲解，学生只要熟悉了导数的概念后对该处的理解应该说没问题，难点是要让学生正确应用导数的几何意义去求切线方程，这就要求学生深刻理解导数与切线斜率之间的关系以及让学生在实践中总结求切线的方法。我们可以设计两个例题来完成对导数几何意义的教学。

例1，试求过点P（3，5）且与曲线y＝x2相切的直线方程。解：由于点P（3，5）不在抛物线上，可设该切点为点A（x0，2x0）

因为，所以该切线的斜率为，又因为此切线过点P（3，5）和点（x0，2x0），所以，

解得：x0＝1或5。

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总结：（1）曲线y＝f（x）在（x0，f（x0））处可导是曲线在该点存在切线的充分不必要条件。（2）如果曲线y＝f（x）在（x0，f（x0））处不可导就应用切线的定义来求切线方程。

点评：曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处导数是曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处切线的斜率，反过来曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处切线斜率一定是曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数吗？由这个例题很好地揭示了导数与曲线切线之间的关系，让学生对导数的几何意义有了更深的理解。

通过对这两块知识的理解与应用及相关数学思想的渗透，我相信学生对导数本质有了更深刻的认识，同时也培养了学生数学思考和数学学习的方式，提高了学生对数学的全面认识。

参考文献

［1］董海涛.对新课程导数几何意义的教学建议［J］.数学教学通讯（教师阅读），2008（11）

［2］数学分析（上册，第二版）.华东师范大学数学系，1990.2

［3］《普通高中课程标准实验教科书数学（选修2～2）》（北师大版）.北京：北京师范大学出版社，2008.5