例析运用等效思想推导单摆周

胡泽华

关键词：单摆周期；等效思想；非惯性

作者简介：胡泽华，任教于贵州省桐梓一中。

在物理课本中，对单摆作简谐运动的周期公式是未加推导而直接给出的。虽对“单摆作简谐运动的回复力是由重力沿运动切线方向上的分力所提供的”作了说明，但并未推导单摆作简谐运动的条件及回复力的最终表达式，这对准确掌握周期公式以及在其他条件下单摆周期的求解造成了困难。

若单纯以“类比法”将公式中的g通过类比视为不同条件下摆球在平衡位置相对于悬点静止不动时摆线中的张力与摆球的质量之比，进而求得不同条件下单摆简谐运动的周期，势必会让我们感到依据不足，并且往往会产生错误。

因此，笔者现就学习中经常遇到的有关单摆周期的求解及用“类比法”将公式的推广应用作简要分析。

使摆球偏离平衡位置，然后放开，摆球就在重力和拉力的作用下在一个圆弧上来回运动。重力沿悬线方向的分力和悬线的拉力的合力，方向指向圆心，成为摆球沿圃弧运动的向心力，只改变摆球运动的方向，不改变运动的快慢。因此，在研究单摆振动的回复力时不需要考虑向心力，只考虑重力沿圆弧切线方向的分力。在偏角B很小时圆弧可以近似地成直线，分力F可以近似地看作沿这条直线作用，单摆的回复力为。其中为摆长，x为常数。可见，只有在偏角很小时，摆球在线性回复力的作用下运动，单摆的振动才很好地符合简谐运动力的特征，才能视为简谐运动。

单摆是高中阶段所要处理的一种重要的理想化的物理模型，它由理想化的摆球和摆线组成：

1.摆线是质量不计、没有伸缩的无弹力细线；

2.摆球密度足够大，且半径比摆线的长度小得多，即可以将其看作是有质量而没有大小、形状的一个质点；

3.单摆在摆动的过程中不考虑空气阻力的影响，即认为单摆是一种无阻尼的简谐运动。

因此我们在推导单摆的周期公式t=2π时要满足α＜10°（有的教参上是5°）的条件下，可以通过简谐运动的通用周期公式推导出单摆的周期公式。

从推导的单摆公式中可以看出：单摆的周期与振幅和摆球质量无关。因为从力学的角度分析，单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的一个分力，偏角越大，回复力越大，加速度(gsinα)也就越大，在相等时间力走过的弧长也越大，所以周期与振幅、质量无关，只与摆长l和重力加速度g有关。在有些振动系统中l不一定是绳长，g也不一定为9.8m/s，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题。

物理上有些问题与单摆类似，经过一些等效思想的处理可以套用单摆的周期公式，这类问题统称为“等效单摆”。我们知道．在惯性系中，单摆运动在摆角小于5°时，可以近似地看作是一个简谐运动．其周期为T=2π，那么在非惯性系中时，周期又如何呢?

一、悬挂于以加速度a竖直上升的电梯内单摆的周期电梯以加速度a竖直上升，单摆摆长为1。摆球质量为m，并视摆球为质点，其受力情况为重力mg，方向竖直向下；线对摆球的拉力、大小变化、方向沿线向上；因单摆处在非惯性系中，摆球相对电梯受到一个惯性力．大小为f=ma，方向竖直向下。当单摆运动离开平衡位置O点后，到达B点时，受力如图所示，即受F′、f、G三个力作用。此时回复力应为B点的切向分力F，其大小为：F=－(mg+ma)sinQ，负号表示F方向与位移方向相反；当Q<5°时，如图所示：sinQ≈AB/DB=(令AB=x)。所以回复力可以表示为：F=－x=－kx，(令K=)。

由上式可以看出，在Q<5°时，单摆在电梯幸的运动近似为简谐运动，由简谐运动周期公式T=2π可得到单摆的周期：T=2π。

二、悬挂于以加速度a(a<g)竖直向下的电梯中单摆

此种情况类似于上面的情况，只是摆球对电梯受到的惯性力的方向改变，即竖直向上。所以回复力F应该为：F=－(mg－ma)sinQ，负号仍表示F方向与Q方向相反。当Q＜5°时，F=x=－kx，（k=）。所以在以加速度a竖直下降的电梯中单摆的周期为：T=2π

三、悬挂于以加速度a水平运动的车厢中单摆的周期

如图所示：车厢以加速度a向左运动，单摆摆长为1。摆球受重力mg，其方向竖直向下；线的拉力F″，其方向沿线向上；摆球相对车厢受到一个惯性力f，其大小为f=ma，方向水平向右。所以摆球受三个力，它可以“平衡”在OA位置，OA与竖直方向夹角为a，tga=a/g，即单摆以OA为中心，垂直于纸面方向做往复运动。此时，回复力应为重力mg与惯性力f的合力F′(F′=m)在B点且垂直于纸面方向的切向分力F，F=－F′sinQ=－msinQ。其中Q为摆线在垂直于纸面方向运动时与QA的夹角，当Q＜5°时，sinQ≈AB/OB=x/1,（令AB=x）。所以F=x=－kx,（令k=）。

由上式可以看出，此运动仍为简谐运动，其周期应该为：T=2π

同理，在其它情况下，只要求出等效重力加速度，就可以求出周期。请见下面两例。

例一：密度为0.8g/cm3的木球由长L=100cm的细绳固定在水中，将木球拉离平衡位置一个很小角度后释放，水的粘滞阻力不计，木球摆动的周期多大？（见右图）

解：木球静止在平衡位置时：拉力产生的加速度go=例二：在水平方向向右加速运动的汽车车厢顶悬挂一摆长为L的单摆，汽车加速度为a，求单摆的周期。a

解：小球在平衡位置（即加速运动相对车厢不动时）与竖直方向夹角为。

由以上几种情况可以看出，单摆在非惯性系中的周期可以视作在惯性系中处理，只是多了一个惯性力f=ma。由单摆周期公式T=2π，在摆长不变的情况下，引入惯性力，从而使g发生变化。因此，只要在非惯性系中或者其它情况下计算出等效重力加速度，即可得出单摆周期。

参考文献：

[1]周霞.关于等效单摆周期公式的几点认识[J].考试周刊，2009(20).

[2]王峰.关于单摆复习的几个问题[J].物理教学探讨,2007(22).

[3]阳水连.单摆周期的计算[J].现代教师与教学,2009(4).

作者单位：贵州省桐梓一中

邮编：563200

AnAnalysisofApplyingEquivalentIdeatoDeducePeriodofSinglePendulum

HuZehua

Abstract:Inthecalculationofvibrationperiodofsinglependulum,firstthingistomakeforceanalysisofpendulumballandwritetheexpressionofrestoringforceofpendulumballandthenfindproportionalityfactorkofsimpleharmonicmotionandputkintoperiodformulasofsimpleharmonicmotion,inthiswaycanwecalculateperiodofsinglependulum.

Keywords:periodofsinglependulum;equivalentidea;non-inertial