对称变换思想在解题中的应用

苗建成

苗建成甘肃省高台县第一中学734300；王民甘肃省高台县职业中专734300

对称问题是中学数学中常见的一类问题，它涉及函数、不等式、数列、排列组合、解析几何、立体几何等诸多内容。对称变换思想也是一种常用的数学思想方法，是近几年高考考查的热点问题之一。

一、函数中的对称问题

根据函数的奇偶性、周期性、光的反射定理、互为反函数图像的性质等所具有的对称性，进行高考命题。

例1（97年全国高考题），将y=2x的图像(),再作关于直线y=x对称的图像,可以得到y=log2（x+1）的图像。

A、先向左平行移动1个单位

B、先向右平行移动1个单位

C、先向上平行移动1个单位

D、先向下平行移动1个单位

解析：y=log2（x+1）反函数是y=2x-1,我们只需把y=2x的图像向下平移一个单位,即可获得y=2x-1的图像,再作y=2x-1关于直线y=x对称的图像即可获得y=log2（x+1）的图像,故选D。

例2（2002年上海高考题），设函数f(x)=sin2x,若f(x+t)是偶函数,则t的一个可能值是______。

解:由f(x+t)是偶函数知,对称轴是y轴。

又f(x+t)=sin(2x+2t)，由正弦函数对称轴，知:

二、不等式中的对称问题

根据不等式条件或求证式子结构两端的对称性，考虑将证式肢解，简化为先证一个二元齐次不等式，当可类推获另两个，以拼凑成证式。

三、数列中的对称问题

根据等差（或等比）数列距两边等距离两项和（或积）相等的对称性，可巧妙设元，减少运算量。

例4（90年全国高考题），有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数。

四、排列﹑组合中的对称问题

根据所排元素位置或组合数性质的对称性特点，可巧妙解决问题。

例5（93年全国高考题），同室四人各写一张贺年片，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年片，则四张贺年片不同的分配方式有（）。

A、6种B、9种C、11种D、23种

解：给宿舍四人分别编号为1、2、3、4,其对应贺年片编号也为1、2、3、4,则编号为1的人拿2号贺年片可列出图表，根据对称性，得3×3=9种，故应选B。

例6（2001年杭州市），A、B、C、D、E五人并排站成一排，若B必须站在A的右边（A，B可以不相邻），那么不同排法共有（）。

A、24种B、60种C、90种D、120种

五、立体几何中的对称问题

可采用对称变换调整元素间的结构，或通过形象补形（轴对称、中心对称、镜面对称）而连成对称.

例7，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BB1的中点,P是截面ABC1D1上的一动点,则A1P+PE的最小值为______。

解：如右图所示,因点A1与点D关于平面ABC1D1对称；

所以A1P＝PD，∴A1P+PE=PD+PE≥DE，仅当点P为DE与平面ABC1D1的交点时，等号成立。

例8，如右图,正四棱锥S-ABCD的所有棱长都相等,过底面对角线AC作平行于侧棱SB的截面交SD于E，求直线BC与平面EAC所成角的大小。

解析:因AD∥BC,所以BC与平面EAC所成的角和AD与平面EAC所成的角关于平面EAC对称，故可转化为求AD与平面EAC所成的角。

连结BD,交AC于点O,则平面SBD⊥平面EAC。

连结OE,过点D作DF⊥OE,则DF⊥平面EAC。连结AF,则∠DAF就是AD与平面EAC所成的角。

六、解析几何中的对称问题

例9(94年全国高考题)，已知直线L过坐标原点,抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,若点A（-1,0）和点B（0,8）关于L的对称点都在C上,求直线L和抛物线C的方程。

例10（2002年全国高考题），设点P到M（-1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围。

对称变换思想在解题中的应用，还可做更多的探讨,本文不再赘述。