重视数学思维过程提高数学思维能力

许哲

许哲

摘要：养成良好的数学思维，重要的是对学生思维过程的培养。本文从学生数学思维过程的偏差形成的原因入手，对于教师如何在教学中避免学生数学思维过程上的偏差，提出了有效的突破方法。

关键词：数学教学；思维过程；思维能力

作者简介：许哲，华东师范大学教育硕士，任教于河南省洛阳东方高中。

一、问题的提出

1.数学思维过程的定义

数学思维过程不同于教学过程，是通过对数学问题的提出、分析、解决、应用和推广的一系列工作，以获得对数学对象的本质和规律的认识过程。它是理解数学知识、形成数学思想基本特征、运用数学解决实际问题所必须要经历的思维活动过程，包括概念形成、结论探讨、问题解决等基本要素，在高中数学教学过程关注数学思维过程，揭示数学知识的发生过程、暴露数学知识的思维过程，从而使学生的数学思维得到训练，数学素养得到提升。数学思维(空间形式、数量关系、结构模式)这个过程是人脑的意识对数学对象信息的接收、分析、选择、加工与整合。

2.高中数学思维过程的意义

高中数学思维的形成是建立在对高中数学基本概念、定理、公式理解的基础上的；发展高中学生数学思维最有效的方法是通过解决问题来实现的。在问题解决中，由于学生不具备良好的思维品质而不能顺利地解决问题，从而在问题解决中造成思维的中断或错位。传统的教育由教师为中心而造成思维中的权威定势，以书本为中心造成思维中的唯书本定势，在一定程度上限制了学生的思维，造成思维的上的偏差。新教材要求的素质教育给数学教学提出了新的要求，不仅要让学生掌握知识，更要注意智力的开发和能力的提高，尤其是思维能力。而学生思维的深化，思维上的偏差的克服，关键在于教师的引导，在教师引导下探索出克服产生思维上的偏差的有效方法和途径。

二、现阶段数学思维过程的现状

在学习高中数学过程中，我们经常听到学生反映上课听教师讲课，听得很“明白”，但到自己解题时，总感到困难重重，无从入手；有时，在课堂上待我们把某一问题分析完时，常常看到学生拍脑袋：“唉，我怎么会想不到这样做呢？”事实上，有不少问题的解答，同学发生困难，并不是因为这些问题的解答太难以致学生无法解决，而是其思维形式或结果与具体问题的解决存在着差异。也就是说，这时候，学生的数学思维过程存在着偏差。

三、数学思维过程上的偏差的形成原因

1.学生方面的原因

(1)个体心理上的偏差

学习本身是一种认识过程。学生在数学学习过程中，往往会由于各种原因而使思想受阻，或许由于概念的模糊，或许由于某个原理尚未真正理解。或许还没有弄清问题的意义，诸如此类知识上的欠缺都会影响学生积极思维的进行。所以，思维上的偏差决不仅仅由于知识欠缺。也就是说，学生要能从原有的知识结构中提取最有效的旧知识来吸纳新知识，找到新旧知识的“媒介点”，这样，新旧知识就在学生的头脑中发生积极的相互作用和联系。

(2)个体认知规律上的偏差

人的认知遵循一定的认识规律，要研究高中学生数学学习中的思维上的偏差到底是怎样产生的这个问题，应该把学生这个学习的主体和学习的内容结合起来，了解二者之间的相互制约关系。首先，学生学习数学受自身的心理认识水平和生活经验的制约；其次，还受学习内容的概括性、抽象性程度的制约。数学知识具有高度的概括性和抽象性，学生学习时若不能真正把握知识的内涵、联系及其区别，在运用数学知识进行数学思维时，往往会产生一些思维上的偏差。

2.教师方面的原因

(1)教法不当引起的思维上的偏差

如果教师的教学脱离学生的实际，学生在学习数学过程中，其新的内容与旧的数学知识不能顺利“交接”；有的教师只重视知识的传授，忽视知识的应用，在讲解习题时往往就题论题，不从方法论的高度指导习题教学，不能指导学生怎样运用所学知识寻找解题思路、从解题中学到科学的思想方法，那么势必会造成学生对所学知识认知上的不足，理解上的偏颇，从而在解决具体问题时就会产生思维上的偏差。

(2)类比不当形成的思维上的偏差

类比是一种重要的推理方式，是人们认识新事物或有所新发现的重要思维方式。学生在学习数学的过程中，正确、恰当地运用类比，往往能实现知识的正迁移，将已学过的知识或已掌握的解题方法迁移过来。但类比不是一种严密的推理，类比推理的结果是否正确，还需要经过实践的检验。有时类比不当，反而会造成学习知识的思维上的偏差。

(3)概念内涵和外延的模糊形成的思维上的偏差

任何一个数学概念都是内涵和外延的统一，使学生掌握概念，一方面指的是要理解数学概念的内涵，同时也要求明确其外延。所谓外延，即概念所涉及的范围和条件，公式的适用范围和成立条件。教学实践告诉我们，使学生弄清概念的外延是深化对概念的理解、正确运用数学概念解决实际问题的前提条件。

(4)思维定势干扰形成的思维上的偏差

由于高中学生已经有相当丰富的解题经验，有些学生往往对自己的某些想法深信不疑，很难使其放弃一些陈旧的解题经验，思维陷入僵化状态，不能根据新的问题的特点做出灵活的反应。虽然学生能运用掌握的知识，形成了一套切实有效的分析解决问题的推理方式和方法，变成了学生的一种能力，一种的思维模式，但这种思维模式具有双重性，既有积极的作用，又有消极的作用。如：刚学立体几何时，一提到两直线垂直，学生马上意识到这两直线必相交，从而造成错误的认识。

由此可见，高中学生数学思维上的偏差的形成，不仅不利于学生数学思维的进一步发展，而且也不利于学生解决数学问题能力的提高。所以，在平时的数学教学中，注意克服学生的数学思维上的偏差就显得尤为重要。

四、学生数学思维过程上的偏差的突破方法

1.让学生参与数学概念的建立过程，培养学习兴趣

数学概念的形成一般来自于解决实际问题或数学自身发展的需要、教材上的定义常隐去概念形成的思维过程，教师要积极引导学生参与数学概念的建立过程，使学生理解概念的来龙去脉，加深对概念的理解，必要时还可以通过举反例来准确把握概念的本质。例如椭圆概念的教学，可分几个步骤进行：(1)实验——获得感性认识(要求学生用事先准备的两个小图钉和一长度为定长的细线，将细线的两端固定，用铅笔把细线拉紧，使笔尖在纸上慢慢移动，所得图形为椭圆)；(2)提出问题，思考讨论：①椭圆上的点有何特征？②当细线的长等于两定点之间的距离时，其轨迹是什么？③当细线的长小于两定点之间的距离时，其轨迹是什么？④你能给椭圆下一个定义吗？(3)揭示本质，给出定义。像这样，学生经历了实验、讨论后，对椭圆定义的实质会掌握得很好。

2.培养学生抓住问题的实质

数学教学并非解题教学，解题只是手段，重要的是通过解题教会学生思维，提高学生能力。关键是努力提高每一道题的功效性，在错综纷杂的题型，套路中领略其万变不离其宗的实质，以不变应变的策略找出解题的思想方法，支解简化各环节。

例如高一年级学生刚进校时，一般我们都要复习一下二次函数的内容，而二次函数中最大、最小值尤其是含参数的二次函数的最大、小值的求法学生普遍感到比较困难，为此，笔者作了如下题型设计，对突破学生的这个难点问题有很大的帮助，设计如下：

(1)求出下列函数在x∈[0，3]时的最大、最小值：①y=(x-1)2+1，②y=(x+1)2+1，③y=(x-4)2+1；

(2)求函数y=x2-2ax+a2+2，x∈[0，3]时的最小值；

(3)求函数y=x2-2x+2，x∈[t，t＋1]的最小值。

层层递进，每做完一题，适时指出解决这类问题的要点，大大地调动了学生学习的积极性，提高了课堂效率。

通过多年的教学实践表明，在二次函数的教学中，可利用数形结合的思想沟通三个二次式的关系：当二次函数y=ax2+bx+c的值y=0时，就是一元二次方程ax2+bx+c=0，而函数值y>0或者y<0时，就是一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，使学生从函数值变化的形式上理解它们之间的联系。

从图形的性质上说，二次函数与x轴交点的横坐标就是相应二次方程的实根，图像上使函数值大(小)于零的x取值范围就是相应的二次三项式大(小)于零的解集，其解集端点就是图像与x轴交点(或二次方程的根)。这就从数与形的结合上揭示了抛物线与x轴的交点情形，二次方程根的问题与判别式的关系，逐步使学生认识到二次三项式是问题的“源”，通过直角坐标的“渠”，“流”经二次方程和二次不等式，形成清晰的“源流”脉络。这样，学生对二次函数就充满了兴趣，理解了它的本质含义，提高了学生理解知识的能力。

3.重视数学思想方法的教学，指导学生提高数学意识

培养学生的数学意识，就是当学生面对实际问题的时候，能够用数学的概念和方法思考，可以用数学的角度思考问题、分析并解决问题。因此，在数学教学中，在强调基础知识的准确性、规范性、熟练程度的同时，我们应该加强数学意识教学，指导学生以意识带动双基，将数学意识渗透到具体问题，如：设x2+y2=25，求u=x+y的取值范围。若采用常规的解题思路，u的取值范围不大容易求，但适当对u进行变形：转而构造几何图形容易求得答案，这里对u的适当变形实际上是数学的转换意识在起作用。在数学教学中，“因果转化意识”、“类比转化意识”等的教学，才能使学生面对数学问题得心应手、从容作答。所以，提高学生的数学意识是突破学生数学思维上的偏差的一个重要环节。

4.诱导学生暴露其原有的思维框架，消除思维定势的消极作用

在高中数学教学中，我们不仅仅是传授数学知识，培养学生的思维能力也应是我们的教学活动中相当重要的一部分。而诱导学生暴露其原有的思维框架，包括结论、例证、推论等对于突破学生的数学思维上的偏差会起到极其重要的作用。例如：在学习了“函数的奇偶性”后，学生在判断函数的奇偶性时常忽视定义域问题，为此我们可设计如下问题：判断函数在区间[2-6，2a]上的奇偶性。不少学生由f(-x)=-f(x)立即得到f(x)为奇函数。

教师设问：①区间[2-6，2a]有什么意义？②y=x2一定是偶函数吗？通过对这两个问题的思考学生意识到函数只有在a=2或a=1，即定义域关于原点对称时才是奇函数。

五、结束语

当前，新教材教学方式的改变已经向我们的高中数学教学提出了更高的要求。但只要我们坚持以学生为主体，以培养学生的思维过程为努力方向，则势必会提高高中学生的数学教学质量，摆脱题海战术，真正减轻学生学习数学的负担，从而为提高高中学生的整体素质作出我们数学教师应有的贡献。

参考文献：

[1]郑和均，邓京华.高中生心理学[M].杭州：浙江教育出版社，2004.

[2]JamesA.Middleton,PollyGoepfert，伍新春.张洁等译.数学教学的创新策略[M].北京：中国轻工业出版社，2003.

[3]任樟辉.数学思维论[M].南宁：广西教育出版社，1990.

[4]郭思乐.思维与数学教学[M].北京：人民教育出版社，1991.

作者单位：①华东师范大学200062；②河南省洛阳东方高中471003

StressingMathematicsThinkingProcessandImprovingMathematicsAbility

XUZhe

Abstract:Theimportantisthecultivationofstudents’thinkingprocessinordertodevelopgoodmathematicsthinking.Startingofffromthecausesofdeviationsinmathematicsthinkingprocess,thispaperputsforwardeffectivewaystoavoidstudents’deviationsinmathematicsthinkingprocess.

Keywords:mathematicsteaching;thinkingprocess;thinkingability