寻根溯源，构建发散思维

李孝龙

——谈抛物线的方程及应用

李孝龙新疆奎屯市农七师高级中学833200

圆锥曲线部分是高考的重点和难点内容，占分比例较大，其中抛物线是圆锥曲线“家族”中的重要成员之一，有其独特的个性。它只有一个焦点，也称为单焦点曲线，它也只有一条准线，其离心率永远是1。

在研究直线与抛物线关系的问题时，通常先设直线方程与抛物线方程联立，解决直线与抛物线的交点问题、弦长问题及三角形面积问题。特别是“直线与抛物线只有一个公共点”是“直线与抛物线相切”的必要非充分条件，比如平行于抛物线对称轴的直线与抛物线有且只有一个公共点，但此直线却不是抛物线的切线。

如右图，设平面内的一条定直线L以及L外的一个定点F，平面内的动点P、Q、R到直线l的距离分别为PN、QN、RN。若PF/PN<1，则P点的轨迹是椭圆；若QF/QN=1，则Q点的轨迹是抛物线；若RF/RN>1，则R点的轨迹是双曲线。这种奇妙的轨迹变换，生动地反映了哲学中“量变到质变”的基本观点。其实这个观点并没有多么深奥，直线与圆的位置关系是由△>0、△<0、△=0决定的，量的积累超过一定的界值就会产生飞跃，使事物产生质的突变。通过抛物线的方程及应用，进行寻根溯源与发散联想，有利于提升学生的解题能力。

例1.过点（0,-2）作直线，使它与抛物线x2=2y只有一个公共点，这样的直线有____条，它们的方程分别是____。

解析：画出图形，由数形结合可判断这样的直线有3条，其中两条是抛物线的切线，而直线x=0也符合条件，但它不是抛物线的切线。设切线为y=kx-2,代入x2=2y并消去y得x2-2kx+4=0,由△=0解得k=±2,则所求直线有3条，分别为x=0，y=±2x-2。

评注：一道基本题丰富了我们的思维，求切线方程也可用导数法，这里用根的判别式法也比较简单。

例2.若动圆Q过定点F(m,0)(m≠0)且与直线l：x=-m相切，则动点Q的轨迹方程是_____。

解析：由已知，圆心Q到定点F与到定直线l的距离相等，所以动点Q的轨迹是以F为焦点、以l为准线的抛物线，故所求轨迹方程为y2=4mx。

评注：这里的“重点”是m≠0这个条件，而未说m>0或m<0,所以动点的轨迹——抛物线的开口可能向右（m>0时），也可能向左（m<0时），但焦点到准线的距离只能为2|m|。

例3.过抛物线y2=4x焦点F的直线l与抛物线交于A、B点，设A(x1,y1)、B(x2,y2),若x1+x2=6,则以AB为直径的圆的面积为______。

解析：抛物线y2=2px(p>0)上过点P（x0,y0）的焦半径为（x0+p）,这里的p=2,则AB=x1+x2+2=6+2=8,圆的半径为4，所求圆的面积16л。

评注：抛物线y2=2px(p>0)的焦半径以及焦点弦长公式应熟记。

例4.已知以向量V=（1,）为方向向量的直线l过点（0,），抛物线C：y2=2px(p>0)的顶点关于直线l的对称点在抛物线的准线上。

（1）求抛物线C的方程。

（2）设A、B是曲线C上的两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交与点N，若AB·OB+p2=0(O为原点，A、B异于原点)，试求点N的轨迹方程。

分析：此题需以平面向量为工具来化解圆锥曲线问题，对于第（1）问要运用向量的共线充要条件求出直线的斜率;对于第（2）问需用平面向量的数量积“计算”出有关的数量关系。

解：（1）由题意可得直线l的方程：y=x+①；过原点且垂直于L的直线方程为y=-2x②；联立①、②，可得x=-。

因为抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上；

所以-p/2=-×2,即p=2。

所以抛物线C的方程为y2=4x。

设A(x1,y1)，B(x2,y2),N(x，y),由AB·OB+p2=0得：x1x2+y1y2+4=0。

又y12=4x1,y22=4x2，解得y1y2=-8③

直线ON：y=x④，由③、④及y=y1得点N的轨迹方程为x=-2(y≠0)。

评注：平面向量作为圆锥曲线的一个常见载体和重要工具，在处理圆锥曲线问题中起着重要的作用，特别是在近几年的高中更是形影不离。平面向量与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）相结合，主要考查有关平面向量的基础知识和解决圆锥曲线的基本方法，因此要掌握以平面向量作为载体和工具解圆锥曲线的基本方法和基本技巧。

参考文献

1.黄安成数学周报.数学周报社编辑出版，2009年9月。

2.冯克诚主编中学数学课堂教学方法.内蒙古大学出版社，1999年9月。

3.高中数学教学主编高考大纲.人民教育出版社出版社，2012年4月。