樊红娟 三角形的中位线 案例

樊红娟

山西省运城市实验中学044000

一、案例背景

（一）教材分析

在这节课中，我们将学习到的三角形中点定理，这对学生来说是一个全新的课题。所以，在我们的教学中，我们要创造出一些有趣的情景问题，来提高他们的学习积极性，同时也要把新旧知识联系起来，把直观和抽象相结合起来，让他们进行大胆的猜测，并对他们的证明方式和思路进行大胆的探索，让他们体验到“探究—发现—猜想—验证”的整个过程，了解合情推理、演绎推理等数学思想方法在推理过程中的重要地位，并将归纳、类比、转化等数学思想方法融入到推理中。在这一节课的教学中，应该让学生明白，三角形的中位线定理，既要证明中位线与三条边的位置、数量的关系，又要给学生提出一种新的方法，这样才能更好地解决问题，提高学生的分析和解决问题的能力。

（二）教学目标

1. 知识性目的

1) 理解三角形中位线的含义。

2) 熟练证明三角形中位线定理及相关应用。

2. 胜任力指标

1)通过“探究-发现-猜测-证实”的过程，培养学生的逻辑推理和推理能力；

2)能运用各种方法对三角形中位线定理进行论证，并感受归纳、类比、转化等数学思想在论证中的应用。

3)能将三角形中位线定理运用到相关的证明与计算中，并逐渐培养学生的分析与解题能力。

3.情绪性目的

通过自己的实践、观察、实验、推断、猜测、证明等过程，学生可以进行自主的探究和合作交流，以此来提高学生的学习兴趣，使他们能够亲身经历到知识的产生、发展的全过程，从而提高他们的创造力。

(四)教学中的重点和难点

教学要点：三角形中位线和中位线定理的证明.

教学难点：用不同的方法证明三角形中位线定理。

(五)制作教学用具

教具：多媒体，投影仪，三角纸，剪刀，常用的绘图工具.

学具：三角纸，剪刀，尺，量角器。

二、案例过程

1.一道有趣的问题：因为有你，班级才会变得和谐

问题：你能把任何一个三角形分割成4个完全相同的三角形么？4个全等三角形能否拼出一个平行四边形来？（板书：画出相应图形，或是直接描述问题）

（这个问题激起了学生们的学习兴趣，他们在课堂上表现得更加活跃，课堂的氛围更加融洽，课堂也更加生动。）

这个学生想到的办法是：依次把三角形三边的中点依次连起来，就可以得出4个完全相同的三角形.

如该图所示，围绕 E点沿逆时针转动△ADE，得到了一个平行四边形ADFE。

问题：您是否有方法来核实？

2.一次实验：因为有了你，教室才会变得鲜活起来

对学生来说有很多种证明方式，比较典型的是下面这些：

生1：用剪刀将图中的△ABC沿着 DE, DF, EF剪下，看看这四个三角形是否重合。

生2：把四个三角形的三条边都测一测，看看能否用“SSS”法来判断三个三角形的全等。

生3：根据四个三角形的边长、角的大小，判定这三个三角形是否符合“SAS、 ASA或 AAS”的判定标准。

师：以上学生均使用实验方法得到结论，不一定正确，怎样运用推论证明法来证明？

3.一种探究——因为有你，班级才会变得生动

师：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形共有几条中位线？

问题：三角形的中位线和第三条边是什么关系？从上一张图片中，你可以得出怎样的结论

（学生们的思考变得更加活跃，学生们也在热烈地交流着。）

学生得出的结论是： DE∥ BC, DF∥ AC, EF∥ AB, AE= EC, BF= FC, BD= AD。

△ ADE≌△ DBF≌△ EFC≌△ DEF, DE= 1/2BC, DF= 1/2AC, EF= 1/2AB.

猜想：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半（板书）

师：你怎么证明这个假设？

生：首先把这个问题变成一个几何题，再去证明。

由图可知： DE是 ABC的中位线，验证： DE//BC, DE= BC.

（同学们热烈的讨论，总结出了一些常见的解决方案）

生1：延长DE到F使EF=DE，连接CF

由△ADE≌△CFE（SAS）

得平行四边形ADFC从而BD//FC

所以，四边形DBCF为平行四边形

得DF//BC

可得DE//BC，DE=1/2BC（板书）

生2：将△ADE绕E点沿顺（逆）时针方向旋转180°，使得点A与点C重合，

即△ADE≌△CFE，

可得BD//CF

得平行四边形DBCF

得DF//BC

后可得DE//BC，DE=1/2BC（板书）

生3：延长DE到F点使DE=EF，后连接AF、CF、CD三条辅助线,可得平行四边形ADCF

得DB//CF，DB=CF，得平行四边形BDFC

可得DF//BC，后可得DE//BC，DE=1/2BC（板书）

师：以上三种方法都用到了一种重要的作辅助线的方法：倍长中位线法。由此可得：

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半

5.一种照应——因为有你，整个教室才变得更加完善方法。）

已知：四边形ABCD，点E、F、G、H分别是四边的中点，

求证：四边形EFGH是平行四边形。

证明：连结AC

∵E、F分别是AB、BC的中点，

∴EF是ABC的中位线，

∴EF∥AC且EF=1/2AC，

同理可得：GH∥AC且GH=1/2AC，

∴EF//GH，EF=GH，

∴四边形EFGH为平行四边形。（板书）

其它解法由学生口述完成。

师：上面问题中的四边形EFGH，我们称其为中点四边形，中点四边形一定是什么四边形？

7.延伸——因为有了你，教室里才会有更多的回忆

问题：如果用“矩形”，“菱形，正方形”代替平行四边形，需要添加什么条件？（以学生的任务形式完成。）

三、案例结果与反思

这一节通过平行四边形的性质定理、判定定理等来探索三角形中位线的基本性质及其应用。通过这一环节的教学，让学生体验到“探究-发现-猜测-论证”这一思维过程，感受到论证的必然性以及证明方式的多样化。在教学中，教师注意将新旧知识有机地结合起来，并注意适当运用转化、类比和归纳等数学思想方法，以达到预期效果。