初中数学解题中逆向思维的运用

杨淇

新民市胡台学校 辽宁 沈阳 110326

摘要：作为现代教育体系的重要课程，特别是高中数学和小学数学学习的重要衔接，初中数学的根本任务不仅仅在于使学生掌握基础数学知识，更承担着培育学生数学思维能力的重要使命，这同样反映了新课标的新要求。数学解题教学作为实现这一目标的重要途径，对学生的逻辑思维有着极高的要求，但数学题目的复杂性、多变性决定了单单依靠学生的正向思维往往会使学生付出更大的辛苦，但解题效果并不能达到理想效果，这时候就需要应用逆向思维来达到拨开云雾的解题教学效果。

关键词：初中数学；解题教学；逆向思维；运用实践

引言：逆向思维也被称之为求异思维，是引导学生在做题过程中打破常规思路、反其道而行之，从而从多维度、多视角解答问题的思想方法。在数学解题教学中灵活应用逆向思维，能够破除初中学生数学习惯与经验所造成的僵化思维认识和循规蹈矩的解题模式，能够帮助学生发现全新知识切入点、提升初中学生数学思维缜密性。

一、以逆向思维解决几何证明难题

几何是数学学科的两大核心内容之一，几何教学是有效培养初中学生空间概念、空间想象力和逻辑思维能力的重要途径。几何图形关系证明主要包括平面图形数量关系和位置关系两种，作为平面几何中的重要话题，几何证明题目既是锻炼初中学生数学抽象思维与归纳能力的重要途径，也是初中学生论证几何基础概念正确与否、全面与否的重要媒介。在以往的几何证明类题目训练中，多数初中学生习惯采用正向思维进行论证，也就是从已知条件入手来逐步剖析题干中隐藏的数量或位置关系，但这种证明方式具有较大难度，对学生数学知识、空间想象力的要求极高。而以逆向思维进行反向论证，则可以化难为易，快速且准确地得出结论[1]。以下题为例：

在线段AB和AC上分别有点D、E，线段BE、CD的交点为O。假使OB=OC、AD=AE，求证OD=OE。

倘若以正向思维来证明，学生们可以画辅助圆，同时保障A、B、C三点在圆上，利用三角形相似的基础知识来证明OD与OE之间的相等关系。这种几何证明思路具有一定的复杂性，基础与逻辑思维水平较差的学生可能无法得出正确结论。而以逆向思维入手，可以假设OD=OE不成立，逆向推理这一假设是否能支撑AD=AE的条件。假设OE＞OD，就可以在OE上截取OF＝OD，连接DE、DF、CF（如图1）:

利用三角形相似基础知识，可知△BOD与△COF的相似关系，以及∠BDO与∠CFO的相等关系。通过观察图形可知，∠CFO＞∠1，所以，∠BDO＞∠3.

根据∠EDO＞∠1，∠1＝∠2，∠2＞∠DEO，因而可得∠EDO＞∠DEO。也就是∠BDO+∠EDO＞∠3+∠DEO，即∠BDE＞∠CED。

又∠BDE与∠ADE互补，∠CED与∠AED互补，所以，∠ADE＜∠AED，则AE＜AD，这与已知条件相悖。因此，假设不成立。同理，当OE＜OD时，可证明AE＞AD，同样与已知条件相悖。由此可知，OD=OE成立。

二、以逆向思维解决高运算量问题

数学运算是数学教学的重要内容和解决数学问题的主要途径，初中学生在数学运算过程中往往习惯采用从开始到结束、从上到下、从左到右的顺序逻辑，但部分数学题目中往往隐藏着错综复杂的数量关系，倘若以正向思维来解题往往会给初中学生造成极大的运算思维压力和高运算量负担。这种情况下，教师就可以引导学生们应用逆向思维，从结尾倒推回开始，打破常规的逻辑思维和运算顺序，就可以简化复杂数学问题，同时降低解题运算难度[2]。以下题为例：

小明周末打算邀请同学到家做客，妈妈为他们准备了一些饮料，同学们一共喝了其中的一半零半瓶；第二天妈妈招待好朋友，又喝了剩余饮料的一半零半瓶；第三天，小明打篮球回家以后太热，一口气将剩下的饮料全部喝了。那么，妈妈最开始一共买了多少瓶饮料？

这种题型在初中数学教学过程中经常出现，按照学生们的思维定式，他们往往会设妈妈购买饮料总量为x，而后根据已知条件列出对应量，即x/2+1/2、1/2（x- x/2-1/2）+1/2…而后对这些未知量进行计算。这种正向思维下的运算过程极为繁琐和复杂，倘若学生在用x表示未知量的过程中出现错误，就会导致运算出错，同时这种复杂的运算过程也会逐渐消磨学生的耐心。而以逆向思维来思考和解题，就可以以未知量x来代表第三天小明喝饮料之前的剩余量，也就是x/2-1/2=0，即x为1，也就是第二天妈妈招待朋友后剩余的饮料瓶数为1；再以y来代表第二天妈妈招待朋友前的饮料剩余量，可知y/2-1/2=1，即y为3；最后以z来代表小明招待朋友前的饮料总量，也就是妈妈购买的饮料瓶数，可知z/2-1/2=3，即z为7.这样一来，通过逆向思考，既简化了运算过程、减少了运算量，同时提高了学生们的解题效率和准确率。

三、以逆向思维探寻正确解题方法

逆向思维在初中数学解题教学中的应用，除了可以使用反证法，也就是假设所需证明结论不成立来获得相关结论，并将验证所得结论与题干已知条件进行矛盾对比来解答题目外，还可以从题干中给出的最终结论入手，来分析结论成立的前提是什么，这样一来，相较于以正向思维来解答题目，逆向思维的应用能够帮助学生们找到正确的证明方法和解题思路。以下题为例：

D和E是△ABC边上的两点，且AD=AB，∠EBD＝∠DBC（如图2）。求证AD²=AE*AC。

以逆向思维来解答这一题目，需要利用几何三角形相似知识，首先对所需证明的结论进行变形，即将AD²=AE*AC转变为AD/AE=AC/AD。结合题干给出的已知条件AD=AB，可对上述比例式进行AB/AE=AC/AB的变形。分析这个比例式可知，想要证明AB/AE=AC/AB（即AD²=AE*AC）成立，需要证明△ABE和△ABC的相似关系。其中，两个三角形具有∠A这个公共角，且∠EBD＝∠DBC，所以两个三角形相似的前提就是要证明另一对角相等即可。根据已知条件AD=AB，可知∠ABD=∠ADB，也就是∠ABE+∠EBD=∠C+∠DBC。又因为∠EBD＝∠DBC，所以∠ABE=∠C，因而可以得出△ABE和△ABC的相似关系。

上述例题考察的是几何图形中边与边的数量关系，倘若以正向思维来考量，学生们往往会无从下手，无法从数量关系层面来分析答题思路。而以逆向思维作为思想指导，通过对需要证明结论的变形，将图形几何数量关系转变为几何图形相似的判定条件，这样一来题目就得到了简化，以相似三角形的证明方法作为解答题目的思路，既节省答题时间，又能够提高准确率，同时有助于培养初中学生的数学转化思想和多元数学视角[3]。

结束语

总之，社会的进步和发展有赖于创新性思维的作用发挥，这一现实带给初中数学教学的启示就是要打破常规、培养初中学生的逆向思维及其应用能力。而在解题教学中应用逆向思维，能够帮助学生简化复杂数学问题、提高解题效率和准确率、养成良好的数学思维与习惯。因此，数学教师要注重初中学生逆向思维的培养，增强初中学生的数学思维活性，锻炼其辩证看待问题、解决问题的能力，帮助其更好地学习数学，为其终身学习与发展奠基。

参考文献：

[1]王莉蓉.逆向思维:赋能初中数学解题教学新思路.基础教育论坛,2023(10):89-91.

[2]史战红,赵有益.巧用“反例”培养学生的高等数学逆向思维[J].陇东学院学报,2022(05):131-135.

[3]曹文栋,童莉.逆向推理思维方式在初中"相交线与平行线"教学中的应用[J].数学教学通讯,2022(05):3-5,9.