基于案例的全概率公式教学探究

蔡磊

武警警官学院  成都  610213

摘  要：本文基于案例进行全概率公式的教学设计，提高了学生的学习积极性，培养了他们应用数学知识分析问题和解决问题的能力.

关键词：全概率公式；案例；教学设计

一、引言

全概率公式是概率论与数理统计中一个非常重要的公式，在学习了加法公式与乘法公式的基础上，在计算一个“知因索果”复杂事件的概率问题时，按照化整为零、各个击破的方法，将复杂事件分解为若干个简单事件的概率计算问题，最后应用概率的加法公式和乘法公式求出最终结果. 本文通过引入相关案例，引导学生将案例与理论知识结合起来，运用有关理论知识分析并解决案例中的问题，从而使学生理解全概率公式，掌握全概率公式的应用.

二、全概率公式的教学设计

（一）生活中的案例引入

引例  抓阄是否与顺序有关？有3个阄，其中2个有奖.现在3个人依次抓取(不放回)，问每个人中奖的概率是否相等？

（二）理论知识

1. 样本空间的划分  设为试验的样本空间,为的一组事件. 若

则称为样本空间S的一个划分．

2. 全概率公式 设试验的样本空间为,为的事件，为的一个划分,,则，上式称为全概率公式.

3. 对全概率公式的说明：

(1)事件的发生受到多个因素的影响；

(2) 适当构造一组划分事件，可以简化计算；

(3) 若：结果事件，：原因事件，全概率公式解决的是“由原因推结果” 事件发生的概率.

4. 全概率公式求解步骤：

(1)设事件；

(2)找出样本空间的一个划分，这是求解的关键；

(3) 求；

(4) 代入.

（三）应用举例

例1  有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30％，二厂生产的占50％，三厂生产的占20％，又知这三个厂的产品次品率分别为2％，1％，1％，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？

分析：结果事件是“任取一件是次品”，原因事件是“取到一、二、三厂的产品”，显然它们构成了样本空间的划分.

解  设表示任取一件是次品,表示取到的产品来自第个工厂，则

由已知条件可得

代入全概率公式得

例2  有甲、乙两个狙击手向恐怖分子各射击一发子弹，狙击手的命中率分别为0.8和0.9. 命中一发子弹，恐怖分子被击毙的概率为0.9，两发子弹同时命中，恐怖分子被击毙的概率为0.99，求恐怖分子被击毙的概率？

分析：结果事件是“恐怖分子被击毙”，原因事件是“仅命中一发子弹”，“两发子弹同时命中”，这两个事件不构成样本空间的划分. 还需要加上事件“两发子弹均未命中恐怖分子”，它们三个事件构成样本空间的划分.

解  设表示恐怖分子被击毙,表示两发子弹均未命中恐怖分子，表示仅一发子弹命中恐怖分子，表示两发子弹均命中恐怖分子，则

由已知条件可得

代入全概率公式得

    引例  抓阄是否与顺序有关？有3个阄，其中2个有奖. 现在3个人依次抓取(不放回)，问每个人中奖的概率是否相等？

解 设表示第i人中奖，则 

又  

由全概率公式得

=

又    

 

由全概率公式得

=

所以每个人中奖的概率相等.

（四）思考题

例1续  有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30％，二厂生产的占50％，三厂生产的占20％，又知这三个厂的产品次品率分别为2％，1％，1％，在这批产品中随机地取一件产品，若已知取到的是次品，求此次品由一厂生产的概率是多少?

分析：已知结果事件“任取一件是次品”，要求原因事件“此次品由一厂生产”的概率.

解 将上面的结论推广到一般情况，就得到了贝叶斯公式.

三、结束语

案例教学法是一种重要的教学方法，在概率论与数理统计的教学中，教师要搜集相关问题的应用案例，将设计好的案例引入到教学中，在解决问题的过程中学习理论知识，从而提高学生的学习兴趣和课堂效率.

参考文献

[1]盛骤，谢式千，潘承毅．概率论与数理统计（第五版）[M] ．北京：高等教育出版社，2019．

[2] 茆诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计教程（第三版）[M] ．北京：高等教育出版社，2019．

蔡磊

单位 武警警官学院   省市   四川省成都市 邮编  610213

作者信息：蔡磊，男（1982.05－），汉族，山西运城人，硕士研究生，副教授；

研究方向：数学教学与建模；