结构水平构件附加弯矩的初步分析

结构水平构件附加弯矩的初步分析

杨俊

启迪设计集团股份有限公司南京分公司 江苏 南京 210000

摘 要：在一般工程结构的设计中，对于结构刚重比不满足设计规范、规程相关要求时需要考虑P~△二阶效应的问题已经足够重视了，但是对于承受较大轴力的水平压弯构件，一般在设计过程中，往往忽略了由于轴向压力引起的附加弯矩，当水平构件的截面刚度较弱时，不能忽略其一阶附加弯矩，甚至高阶附加弯矩也是不能忽略的。本文通过算例对比，初步分析了当边界条件及荷载条件一定的情况下，水平构件的截面刚度等因素对其附加弯矩的影响。

关键词：附加弯矩；二阶效应；压弯构件

1、前言

工程结构设计中常见的水平压弯构件在横向荷载作用下产生会弯曲变形，其轴压力则会导致弯曲变形增大，变形增量又会使弯矩进一步增大，这个增量值即为附加弯矩。根据结构力学和材料力学的方法进行计算时，往往忽略这个附加弯矩，但是对于截面刚度较小并且承受较大轴向压力的构件，附加弯矩的产生会影响结构构件的安全性，这种情况下，在工程结构设计中，是不能忽略附加弯矩的。

2、结构水平构件的附加弯矩计算

图1 压弯水平构件的计算简图

图1所示的简支梁在均布荷载q和轴力N作用下的挠度微分方程可表示如下： （1）；由（1）可解得梁的挠度值为： （2）；式（2）中的

当不考虑水平构件所承受的轴向压力时，简支梁的跨中弯矩值为M0=ql2/8，跨中挠度值为fm=5ql4/(384EI)；当考虑其轴压力N的作用时，根据边界条件：x=0，y=0及x=l，y=0；由（1）~（2）式得到相应的跨中弯矩值为：

（3）。跨中挠度值为： （4）上述式中的，此简支梁的跨中附加弯矩值可表示 （5）

3、算例分析

3.1有限元软件的计算原理

在解决工程问题方面，有限元方法是一种近似数值计算方法，先将连续物体划分成为有限大小单元，并且相邻的有限单元只在有限个点彼此连接，再对这个组合体进行分析。也就是说，把实际连续的结构假想为一个离散的结构并作为近似力学模型，再对这个离散结构进行数值计算分析。近年来，有限元法在工程中被越来越被广泛应用，不仅被应用于工程结构设计领域（例如模态分析、静力分析、谱分析等），甚至在电磁场、耦合场、流体力学、热力学等诸多的领域都有着极其广泛的运用。

结构的非线性分析包含了几何非线性以及材料非线性两部分。在进行结构几何非线性分析的时候，其单元切线刚度矩阵Kr由单元的弹性刚度矩阵KE、几何刚度矩阵KG以及应力矩阵S组成，即Kr=KE+KG+S。而在进行非线性分析时，结构刚度矩阵和荷载向量随着求解进程发生变化，因而是未知的，针对这样的问题，有限元计算程序通常会采用基于Newton-Raphson算法的迭代过程，采用一系列线性近似值逐渐收敛于其非线性的精确解，或者是采用弧长法等其他的算法。由前面的分析可以得知，当考虑几何非线性时，程序选取的刚度矩阵是结构在产生了变形之后的刚度矩阵，其计算的跨中弯矩值已经考虑了轴向力N的作用。本文计算模型所选用的软件为北京盈建科股份有限公司开发的YJK（版本4.3），YJK软件在计算参数界面“计算控制信息”的“二阶效应”中提供了“考虑梁元P~△效应”的选项。当勾选“考虑梁元P~△效应”选项时，程序采用了考虑结构变形后的修正刚度矩阵进行计算分析。水平压弯构件的跨中弯矩计算值亦考虑其承受的轴向压力N的作用，跨中弯矩的计算值即为Mmax，当关闭选项“考虑梁元P~△效应”时，计算程序即不考虑其轴力N的影响，此时水平构件的跨中弯矩计算值即为M0，两种情况下的跨中弯矩差值Mf=Mmax-M0即为水平构件的附加弯矩值。

3.2公式解与有限元程序计算结果的对比

本文算例的简支梁如图1所示，计算跨度为l0=8m，均布线荷载标准值10KN/m，轴向力N=200KN，假定初始设计时的梁截面为200x300mm，混凝土强度等级为C30，混凝土弹性模量E=3x104N/mm2。由上述式（1）~（5）计算可以得到：M0=ql2/8=10x82/8=80KN.m；fm=5ql4/（384EI）=5x10x80004x12/（384x3x104x200x3003）=39.51mm；Mf=N.fm=200x0.03951=7.9KN.m。梁的跨中弯矩值和挠度值采用YJK软件的计算结果见下表：

	跨中弯矩（Nm）	跨中位移（mm）
不考虑梁元P~△效应	80.0	39.56
考虑梁元P~△效应	88.7	42.78
变化率（%）	10.875%	8.14%

考虑P~△二阶效应之后梁的跨中附加挠度值△fm=42.78-39.56=3.22mm，而与之相对应的梁跨中的高阶附加弯矩值为：M‘f=N.△fm=200x0.00322=0.644KN.m。该算例的公式解在考虑这个高阶附加弯矩之后的修正值为：80KN.m+7.9KN.m+0.644KN.m=88.544KN.m。上述算例采用公式解的跨中弯矩计算值为88.544KN.m，已经非常接近软件考虑修正刚度矩阵后的弯矩计算值88.7KN.m。而公式解的弯矩和挠度值均略小于有限元程序的解，这是由于公式计算仅考虑了较低阶的附加弯矩值和附加挠度值，而当采用有限元程序计算时，由于迭代的次数更多，其计算结果更加逼近精确解。程序在考虑了梁元的P~△效应后，跨中弯矩的计算值相对于未考虑的情况下增加了（88.7-80）KN.m/80KN.m=10.875%，而其跨中挠度值则增加了（42.78-39.56）mm/39.56mm=8.14%，可见，当水平构件所承受的轴压力不变时，如果构件的截面刚度太小则会导致其P~△效应较为明显。

3.3水平构件截面刚度对二阶效应的影响

由前式（5）可见，在结构水平构件承受轴压力和均布线荷载不变的情况下，附加弯矩大小和跨中最大挠度成正比的关系，而由前式（1）~（2）可见，跨中最大挠度值和构件截面刚度成反比的关系，增加梁截面刚度尤其是加大梁的高度，能够较为明显的减小结构水平构件在轴力作用下的二阶效应。

仍然采用上述算例，在假定构件所承受的均布荷载、轴向压力和边界条件均不变的情况下，梁截面尺寸(mm)分别按照200x300、200x400、200x500、200x600、200x700进行计算，其跨中弯矩值和跨中挠度值的计算结果见下表3。经对比可见，构件由于轴压力所产生的附加弯矩值和附加挠度值与不考虑二阶效应情况下计算得到的弯矩和挠度的比值，即二阶效应所导致的弯矩和挠度变化率。这个变化率随着构件截面刚度的增加，呈现明显减小的趋势。

梁截面（mm）	跨中弯矩（Nm）		跨中挠度（mm）		弯矩变化率（%）	挠度变化率（%）
	无P~△效应	P~△效应	无P~△效应	P~△效应
200x300	80.0	88.7	39.56	42.78	10.875%	8.14%
200x400	80.0	83.5	16.79	17.32	4.375%	3.16%
200x500	80.0	81.8	8.63	8.77	2.25%	1.62%
200x600	80.0	81.0	5.02	5.07	1.25%	0.996%
200x700	80.0	80.7	3.18	3.20	0.875%	1.006%

由上表的分析可知：当梁截面高度从300mm增加至400mm时，其附加弯矩值由8.7KN.m减小至3.5KN.m，减小了59.77%，如果继续增加梁的截面高度，从400mm增加至500mm时，附加弯矩值由3.5KN.m减小至1.8KN.m，降低了48.57%，而当梁高从500mm增加至700mm时，附加弯矩则由1.8KN.m减小至0.7KN.m。假设构件在初始设计时，梁截面高度初定为300mm，当增加100mm后，考虑P~△效应后由于附加弯矩所引起的弯矩变化率从11%左右下降至低于5%，效果非常明显，但是如果要将二阶效应引起的弯矩变化率控制在1%以内，那么梁截面高度要达到700mm，即为初始设计高度的2.33倍，在实际的工程设计中，这种方法显然是不经济的，且而截面过高也会影响该建筑的使用功能。

可见，适当提高水平构件的刚度，例如增加梁截面高度，可有效的减小由轴向压力引起的二阶效应。但是，如果截面尺寸选取过大，对于控制减小附加弯矩值和挠度值的作用就不太明显了，从经济合理性方面考虑并兼顾其建筑的使用要求，设计时宜选取大小适当的截面尺寸。

4、小结

对于边界条件明确、受力情况简单的水平结构压弯构件，可以按照前述的公式方法计算其由轴向压力所产生的一阶附加弯矩，也可以进一步计算压弯构件的低阶、多阶附加弯矩。但是对于更高阶的精确求解，以及整体构件较多、边界条件不明确以及受力较复杂情况，采用公式手算的方法就不太方便了。建议使用有限元程序考虑结构变形后的修正刚度矩阵，对整体结构进行分析，并与手算方法的结果进行对比，以方便判断结构设计的合理性。一般的水平压弯构件在截面刚度较大，承受轴向压力较小的情况下，二阶效应不会太明显。然而，对于截面刚度较小，并且承受较大轴向压力的水平压弯结构构件，在设计时不宜忽略其由二阶效应所引起的附加弯矩，可以通过诸如增加截面高度等方法来提高构件的刚度，从而可以有效的减小水平构件由于轴向压力所引起的二阶效应，但是在实际的工程设计中，还需要结合具体情况，选取大小适中的截面尺寸，以满足建筑使用功能和经济性要的求。

参考文献：

【1】《混凝土结构设计规范》 GB 50010-2010（2015 年版）

【2】刘建文，鲁钟富，庄伟 《盈建科YJK混凝土结构设计与实例解析》 中国建筑工业出版社 2020年

【3】樊友景，李乐，李大望 压弯构件的附加弯矩分析 郑州大学学报 2007年第39卷

【4】孙训芳，《材料力学》 高等教育出版社 2019年

【5】龙驭球，包世华，袁驷 《结构力学教程》 高等教育出版社 2022年