大概念下数学教学研究——以数轴引领数形结合为例

黄炳英

成都高新新华学校，四川省成都市，610000

内容摘要：所谓大概念，是指基于学科中心地位，能反映学科本质，具有广泛实用性和解释力的原理、思想和方法。大概念可以是概念，但又不局限于概念，它可以是学科知识，但不是普通零碎的知识，而是金字塔顶端的上位知识；它可以是一种学科思想方法；也可以是学生学习的一个纲目；它可以是整合所学知识的组织者，也可以是串联支持的红线。

笔者认为大概念应是核心素养的落脚点和具体化，那么构建大概念视角下的单元整体教学设计就将是落实核心素养的有效途径之一。本文主要在学科大概念视角下，进行以数轴作为思维工具引领数形结合的应用研究。

关键词： 大概念 核心素养   数轴    数形结合

2021年4月，教育部发布的义务教育数学课程标准(2022版)凝练了数学学科核心素养，更新了课程内容与评价体系。并首次使用大概念统领整个学科课程内容，引领课程与教学改革，明确强调以学科大概念为核心，促进学科核心素养的落实。

大概念具有高度形式化，兼具认识论与方法论，具有核心性与共通性，其表达方式可以指向学科的核心概念，主题等。大概点理念下的课堂，正从目标为本的课堂走向观念为本的课堂。[1] 这是新课程的一项重要变革。

数学学科大概念，以数学知识发生发展的内在逻辑为基础，加强研究方法的引导，使学生能够整体掌握知识框架，形成完整的知识体系，对各单元内知识点的内在联系更为清晰。这样不仅可以脱离课时学习所导致的知识零碎、难以掌握基本数学思想、无法促进核心素养提升的困境；还可以帮助学生减少学习时间、提高学习效率。最重要的是还能培养学生学会如何发现问题、提出问题，如何寻求解决问题的思路，从而提高学生学习力。

针对初中数学来讲，知识内容丰富，主要分为数与代数、图形与几何、统计与概率，综合与实践等四大板块。[2]  其中重点难点颇多，知识内容之间的逻辑关系较强，我们坚持注重基础的同时，以大概念为抓手，按逻辑关系将知识进行整合，既可以锻炼学生的逻辑性思维能力，又能促进数学学科核心素养的落地，达到改革与坚守的完美统一。

初中数学大概念有很多，数形结合就是其中很重要的一个。笔者在教学中发现，很多问题的解决需要借助数形结合思想。而数轴是数形结合最重要的思维工具之一，数轴可将很多知识进行有效的连接与融合，巧妙而快速地解决问题。下面通过数轴引领数形结合来进行大概念下的教学研究。

数轴是北师大版七年级上册第二章的内容，后续的知识包括实数的相反数、绝对值、有理数的计算以及动点问题等，都会以数轴为基架进行学习。数轴兼具数和形的双重特征，是学生上初中后首次接触数形结合思想的重要载体。在数形结合的大概念思想指引下，借助数轴的学习，教师可以带学生一起归纳数轴的作用。下面以北师大版初中数学教材为例，梳理如下：

1.《有理数》一章学习了有理数的加减乘、除、乘方运算，可以用数轴进行直观的展示。

例如：+5+3=8，-2+（-4)=-6,+3-4=-1 , 36÷5=7...1,，如图：

  

数轴贯穿有理数的加、减、乘、除、乘方运算。加法，简明的体现为数轴上两个数叠加合并的核心本质；减法，是在数轴上找到某两个数所对应的点，度量出这两个点之间的距离即差；乘法，是在数轴上连续向右若干次等间距的“跳跃”，除法则是从被除数处向左“跳回”若干个等间距，本质上属于等距“连减”，体现了除法是乘法的逆运算。[3] 乘方是乘法的升级运算，是以底数为基点，在数轴上连续（底数01向右）“跳跃”等倍数级别的间距。这些都为高中学习等差数列和等比数列打下基础。

2.数轴可表示有理数的大小，相反数与绝对值。例如：-30<-15<-10<5,如图：

                  

根据数轴的特性，数轴上表示的数左小右大，所以只要将数在数轴上表示出来，就可一目了然地看出数的大小关系。

3.实数在数轴上所表现出来的极限思想。

对于一条完整的数轴，规定了三要素：原点、单位长度和正方向。数轴是一条直线，向两边无限延伸。于是，在数轴上可以直观地感受到，越往右的数越大，趋于正无穷大；反之，越往左的数越小，趋于负无穷大。

4.近似数的求法，采用求数轴上点的就近原则，明确四舍五入的实质与估算的意义。例如：3.42≈3.4(精确到十分位),3.47≈3.5(精确到十分位)，3.471≈3.50(精确到百分位)。

如上图所示，3.42离3.4显然比3.5更近，所以精确到十分位就等于3.4；同理，3.47精确到十分位就等于3.5。

5.分数和小数的性质，可利用数轴上同一点表示的数值相等。比如0.1=0.10=0.100，1/2=2/4=4/8等。

6.自然数的因数与倍数在数轴上呈现规律性的排布，以此可探索数的规律，为高中学习等差数列和等比数列打下基础。

例如：（1）在数轴上表示出12、16、36的因数，发现自然数的因数主要集中在它的中间值与1之间的左半个数轴上；（2）在数轴上表示出24的因数与4的倍数，发现24的因数之间，可以首尾两数两两成对，且两数之积等于24；（3）4的倍数在数轴上呈现等间距的分布等等。如图：

其他很多类似的生活实际问题，如时差问题、动点问题等，都可利用数形结合思想解决问题。

8.不等式的性质。

（1）传递性：如果a＜b,b＜c,那么a＜c.

（2）不等式两边同加或者同减一个数，不等式的方向不变。

如果b＜a,那么b+c＜a+c,b-c＜a-c.即相当于将原不等式表示的线段进行左右平移，最后结果还是遵循数轴上的点左小右大的原则。此处将线段平移与点的平移进行类比迁移，实质仍归结为数轴上点的平移问题。       

    

9.函数与不等式的解集。

  

应用数轴可以形象直观地表示函数与不等式（组）的解集，再辅以相应的理解，就可以准确得出结果。

与数轴相关的知识还有很多，这里不再一一枚举。总的看来，数轴引领数形结合，这是初中生体会数形结合思想的一个开端。数轴将整个实数域串联起来，直观地体现了实数与数轴上点的一一对应关系，数轴的建立使人类对“形”与“数”的统一有了初步的认识，那就是数可以看成点，点可以视为数，点在直线上的位置关系可以数量化，而数的运算(特别是有理数的运算)也可几何化；这为后续的函数、不等式等知识的学习搭建了“基架”。

结束语：数学教育要着眼于核心素养的整体，数学学科对学生核心素养发展的独特贡献在于，数学学习在学生的“理性思维”发展中起决定性作用。[4]因此，作为数学教师，我们应该把培养学生的“理性思维”置于核心素养的统领地位。面对初中数学丰富的知识内容，较多的重点难点，以及知识内容之间较强的逻辑关系，如果以大概念为抓手，以大概念为视角分析教学内容，围绕大概念系统规划制定进阶式教学目标，确定单元教学结构，实施单元教学评价，就可以赋予单元教学以实质性的意义，真正将知识转化为能力。[5]从而真正实现变革与坚守的完美结合。

但是，任何改革都不可能一蹴而就。课程改革的主力军是广大教师，只有广大教师充分领悟改革精神，真正落实以大概念为抓手的课改要求；充分认识到大概念是数学活动的核心，通过一个个数学大概念，将零散的知识串珠成链；在大概念的系统中理解概念，在知识的整体中理清来龙去脉，从而助推学生解决数学问题的能力，助推学生核心素养的生成。[6]

参考文献:

[1]张海强.基于大概念的高中数学教学探索.江苏教育中学教学版,2020年10期.

[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022版）.北京：北京师范大学出版社，2021.4月.

[3]张奠宙，孔凡哲，等.小学数学研究[M].北京：高等教育出版社，2014：280-281.

[4]章建跃.核心素养统领下的数学教育变革.数学通报，2017年第56卷第4期.

[5]顿继安，何彩霞.大概练统摄下的单元教学设计.基础教育课程, 2019.9（下）  

第258期

[6]章建跃.中小学数学,2020年4月下旬（高中）

作者简介：黄炳英－1979.5月－女－重庆云阳－汉族－大学本科－中小学一级，研究方向：大概练下深度学习研究。