正弦定理的教学设计与反思

姓名,孙铭

单位  江阴市成化高级中学 邮编 214424

正、余弦定理是研究任意三角形边角之间关系的重要开端，用正弦定理解三角形，是典型的用代数的方法来解决的几何问题的类型；正弦定理作为三角形中的一个定理，在日常生活和工业生产中的应用十分广泛。

而高一的学生对三角形的边、角关系已经有过定性的研究，并且掌握了SSS,SAS,ASA,AAS等判定三角形全等的方法。这些判定方法表明，给定三角形的三个角，三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的。那么三角形的其他元素与给定的元素具有怎样的数量关系呢？由此问题入手，激发学生的兴趣，引导学生探究正、余弦定理，并完成证明。由于上一节课学生已初步掌握余弦定理及其证明，本节课将继续与学生一起完成正弦定理的探究与证明。

【教学目标】1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系；2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形.3、通过参与、思考、交流，体验正弦定理的发现及探索过程，逐步培养探索精神和创新意识。

【教学重难点】重点：正弦定理的探索与发现；

难点：正弦定理证明及简单应用。

【教学过程】

一、导入新课：

情境一：如图，设，两点在河的两岸，要测量两点之间

的距离．测量者在的同侧，在所在的河岸边选定一点，

测出两点间，的距离，，，

求，两点间的距离．

情境二：如图，设，两点在河的两岸，测量者为了得到

、两点之间的距离．测量者在的同侧，在所在的河岸选

定一个点，测出的距离是， 的距离是，

，根据这些数据能解决这个问题吗？

情景三：如图，设，两点在河的两岸，测量者为了得到

、两点之间的距离．测量者在的同侧，在所在的河岸选

定一个点，测出的距离是， ，

，根据这些数据能解决这个问题吗？

设计意图：情景一考察的是熟知的勾股定理，因此学生解决十分

容易。情景二考察的是余弦定理，学生根据上节课所学，也能顺利得出答案。而情景三中的问题，余弦定理就无法解决，因此需要他们去寻找新的方法，激发学生的兴趣，开启正弦定理的探索之旅。

二、新课推进：

思考：已知两边及其夹角、已知三边可用余弦定理及其推论直接解三角形．如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？

问题一：直角三角形中，角，，所对的边长分别为用，，表示，其中角为直角，怎样用，，表示角，，的正弦？

答：,同理

而,所以有

由此可得直角三角形的边角关系为：

设计意图：直角三角形的边角关系学生还是较为容易就能找到的，学生也会由这类特殊的三角形的边角关系联想到一般的三角形也有相同的结论。也体现了由未知到已知，由特殊到一般的数学思想。

问题二：对于一般的三角形，上述结论是否适用？如何证明正弦定理？

猜想：对任意的三角形，都有。

设计意图：这里会借助几何画板这样一个数学软件，为同学直观地展示，无论三角形的形状发生怎样的改变，边长与其对应角的正弦值的比值不变。由此肯定学生的猜想，得到正弦定理，进而进行证明。

考虑到本章我们学习的是平面向量，前一节课所学的余弦定理也是用向量法来证明的，因此在正弦定理的证明时，我们依旧考虑如何借助向量这一工具进行研究。在问题一中，我们想要得到三角形的三边及其对应角的正弦之间的数量关系，联想之前的向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，因此学生们可以由此入手进行探究。

问题三：向量的数量积运算中出现的是角的余弦，而我们需要的角的正弦，两者之间如何进行转化？

答：诱导公式

设计意图：利用向量法证明正弦定理对学生来说存在一定的困难，将问题拆分几个小部分，逐步引导学生去思考，有助于学生理解并接受，降低学生的学习难度。

下面是锐角三角形的证明：首先需要引入单位向量

过点作单位向量垂直于，

由于与夹角为，

与夹角为，

与夹角为。

由向量加法的三角形法则，得，

因此

即

也即   

同理，过点作单位向量垂直于,可得    

因此可得证： 

钝角三角形的证明同上，可以请学生自行完成。

小组讨论：以上我们利用向量法获得了正弦定理，还能有其他的方法证明该定理吗？

设计意图：正弦定理、余弦定理的证明方法很多，有些方法其实比向量法更简单，如面积法，三角函数法，单位圆法，这些方法学生也比较容易想到。通过多种证明方法，能加深学生对正弦定理的理解，也能让学生更加熟练地掌握。

二、课堂练习：

在中，已知，,，解这个三角形。

解：由三角形内角和定理，得.

由正弦定理，得.

设计意图：通过这个小练习，学生能更加熟练正弦定理的应用。

【教学反思】

本节课的设计注重知识建构过程和体现学生主题地位，从学生熟悉的直角三角形边角关系，到锐角三角形、钝角三角形的讨论，渗透了分类讨论思想和数形结合思想。在正弦定理的推导过程中，除了课本上提到的向量法，还给予学生一定时间，交流讨论得到其他不同的证明方法，通过合作学习，学生也比较容易联想到利用三角函数定义或三角形面积进行论证，使学生不断发现规律，得出在斜三角形中边与角的关系，多种方法的证明有利于学生思维能力的拓展，有助于加强学生解题的灵活度。

但是本节课的教学也存在一定的问题，首先，本班学生的学习基础较弱，在对定理进行证明时，一开始就向学生展示了较难的向量法，增加了学生的学习难度。是否可以将小组讨论这一环节提上前，让学生先思考出其他较为简单的证明方法，再由此提出向量法。这样的教学安排是否更为合理。另外，教学时间的超时，导致在向量法证明正弦定理过程中较为仓促，基本上都是我来说，学生较为被动接受，由此说明我在教学中存在对学生情况的把握不够准确到位，教学过程中时间的分配不够适当，教学语言不够精简，今后一定避免此类问题，争取更大的进步。