Lyapunov稳定理论在机动目标拦截制导律的应用研究

朱文祖

江南机电设计研究所  贵州贵阳  550009

摘要：针对防空导弹在拦截机动目标过程中的特点，以Lyapunov稳定理论为基础，开展基于H∞控制理论和有限时间稳定控制理论的鲁棒制导律应用研究，将目标机动看作系统的有界外部扰动，无需对目标加速度进行实时估计，在对目标机动信息一无所知的情况下，所研究制导律本身具有很强的鲁棒性。仿真表明，两类制导律均具有良好的跟踪性能和鲁棒性，有限时间制导律具有更好的拦截效果，对目标机动起到了更好的抑制作用。

关键词：Lyapunov稳定理论、制导律、有限时间收敛

引言

工程上拦截机动目标常用的导引方法是比例导引律，因为在以往的拦截过程中，导弹在速度、机动性方面均具有明显的优势，但在拦截大机动目标时，制导系统中存在由导弹运动方程参数的变化、目标机动方式变化等引起的模型不确定性和外部扰动，而导弹在按照确定性模型或扰动设计的制导律控制下，性能受到很大影响，因此设计鲁棒制导律具有重要意义。目前主要的鲁棒制导律有H∞制导律[1][2]、滑模变结构制导律等形式，虽然H∞控制在理论上发展迅速，但在实际应用中存在求解Hamilton-Jacobi不等式过于复杂等问题。现有的鲁棒制导律分析方法均建立在传统Lyapunov渐进稳定理论或指数稳定理论基础上，理论上只能保证当时间趋于无穷时，视线角速率趋于零，而有限时间稳定的定义是系统状态在有限时间内到达平衡。在制导控制领域，系统状态的有限时间稳定问题也已受到重视，文献[3]基于有限时间稳定性定理，给出了有限时间收敛的滑模变结构导引律。

本文首先以H∞控制论为基础，利用Lyapunov函数分析法保证控制量对外部扰动具有抑制作用，研究了一类H∞鲁棒制导律。其次，根据非线性控制系统有限时间稳定理论[4]，研究了一类有限时间稳定制导律。

1 弹目相对运动关系的建立

以平面内情况为例，建立目标-导弹相对运动方程

……（1.）

……（2.）

其中，和分别是目标加速度和导弹加速度在视线方向上的分量；和分别是目标加速度和导弹加速度在视线法向上的分量。

2 H∞制导律

对于给定的增益比系数，存在导弹控制量，使得在任意的初始位置对于外部扰动，式（3）成立。

……（3.）

式中：为导弹发射时刻；为导弹击中目标时刻；；为加权输出指标信号，选取为。

不考虑目标机动时，考虑设计控制量使视线角速度按照指数函数形式收敛，控制量设计为

……（4.）

当考虑外部扰动时，通过选择参数，使系统在控制量的作用下满足扰动抑制关系。

构造Lyapunov函数，对时间求导，将控制量代入，综合式（3），得到

……（5.）

对式（5）两侧进行积分得到

……（6.）

比较得到

……（7.）

由式（4）可知，制导律由两项组成，前一项可看作导航比为2的比例导引项，后一项是抑制扰动修正项。当增益比系数变小（输出信号系数增大），参数相应变大，以满足拦截机动目标需求。

3 TNG制导律

平面内视线运动方程式(2)转化为一阶线性时变微分方程

……（8.）

根据非线性有限时间收敛控制理论，选取控制量使得任意时刻式（15）成立

……（9.）

把制导方程式(15)代人式(14)可得

……（10.）

若使式（16）小于等于零成立，选取制导律

……（11.）

式(17)中，导航比，为避免引起控制系统奇异，取值为。

制导律式中含有开关函数项，为削弱控制量的切换造成的抖动，采用饱和函数代替符号函数。

4 仿真分析

为便于分析，将传统比例导引律简称为PNG、鲁棒制导律简称为HRG、有限时间制导律简称为TNG。

目标机动3g，导弹迎击拦截目标，分别采用PNG和HRG、TNG制导律进行比较。导航比系数取2.0；HRG抑制增益系数为0.5，输出加权系数为2.0，参数；TNG中、和。得到制导偏差如表1所示，视线角速率与导弹过载使用情况如图1所示。

(a)视线角速度

（b）导弹过载

图1 视线角速度及导弹过载

表1 制导偏差

制导律	制导偏差（m）
PNG	0.4
HRG	0.2
TNG	0.05

从表1可知，拦截机动目标时，TNG制导偏差明显优于HRG和PNG。由图1可知，相较于PNG与HRG，TNG视线角速度能较快收敛到零附近，从导弹过载使用情况来看，制导初始段TNG所需控制量较大，而PNG使用过载较小，在制导末端TNG制导所需过载收敛于零，而PNG和HRG制导所需过载略大，综合分析，TNG制导律综合拦截性能最优，视线角速度变化幅度较平缓，对目标机动有很好的抑制。

5.结论

本文以防空导弹拦截机动目标为背景，主要考虑目标机动变化引起的外部扰动，以Lyapunov稳定理论为分析手段，研究了一类H∞鲁棒制导律。其次，根据非线性控制系统有限时间稳定性理理论，研究了一类有限时间稳定制导律。经仿真验证，两类制导律均具有良好的跟踪性能和鲁棒性，有限时间制导律对外部扰动起到更好的抑制作用，且所需控制量均可在实际制导过程中测量得到，便于工程中进一步推广应用。

参考文献

[1] 王洪强，方洋旺，伍友利，等.导弹拦截H∞鲁棒制导律设计[J].航天控制，2009,27（1）:45-48.

[2] 李新国，陈士橹.非线性鲁棒制导律设计[J].宇航学报,2000,21(增刊):48-51.

[3] 孙胜，周荻.有限时间收敛变结构导引律[J].宇航学报,2008,29(4):1258-1262.

[4] 张友安，胡云安.导弹控制和制导的非线性设计方法［M］.北京:国防工业出版社，2003.

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