基于线缺陷的正方晶格声子晶体带隙特性分析

蔡允高,董盈红

保山学院 工程技术学院，云南 保山 678000

摘要：本文采用平面波展开法对由密度值相差较大的钢与环氧树脂构成的正方柱三角晶格二维声子晶体进行了数值分析；从声子带隙数目、带隙相对宽度等方面，分析并讨论了结构中不同角度下的线缺陷对声子带隙的影响。结论表明，当线缺陷的角度为60o时，带隙的宽度明显增大，但当线缺陷的角度继续增大时，带隙的宽度明显减小；此外，在填充率为0.1-0.9范围内，随着线缺陷角度的增加，带隙中最大带隙数目呈明显减少趋势。

关键词：声子晶体；填充率；线缺陷；带隙数目；相对频宽

声子晶体是在电子晶体和光子晶体的基础上延伸出的一种具有弹性波禁带的周期性功能材料，处于带隙频率范围内的弹性波将被禁止传播。采用声子晶体能够设计出新型的升学功能器件，在声呐、深度探测等领域有着广泛和重要的应用[1-2]。1992年，Sigalas等人[3]首次从理论上证实了将球形散射体埋入某一基体材料形成的三维周期点阵结构中时，能够存在弹性波带隙。紧接着，Kushwaha等人[4]在此理论基础之上，研究了镍/铝二维固体周期符合介质对弹性波的控制，并首次明确的提出了“声子晶体”的概念。

根据空间维度的不同，可以将声子晶体分为一维、二维、三维声子晶体，其中二维声子晶体一般为柱状散射体材料中心轴线均平行于空间某一方向，并将其埋入基体材料中；散射体的排列通常有正方形、三角形及六边形等排列方式。声子晶体带隙的计算方法主要有平面波展开法、时域有限差分法、多重散射法、传递矩阵法等[5]。本文利用密度相差较大的4340型号的钢与环氧树脂构成正方柱三角晶格二维声子晶体，通过平面波展开法，从声子带隙数目、带隙相对宽度等方面，分析并讨论了结构中不同角度下的线缺陷对声子带隙的影响。

1. 结构模型及参数

本文研究的对象结构模型如图1所示，其中正方形表示4340型号的钢结构单元，空白部分为环氧树脂基底结构单元，图中为晶格常数。文中对于该正三角形排列的第一布里渊区的取值范围为。图2为本文二维正方柱三角晶格声子晶体中单个超晶胞的结构模型。其中，（a）、（b）和（c）依次为在结构中引入60o 、120o及180o线缺陷时的超晶胞结构模型的排列方式。

图1二维正方柱三角晶格声子晶体材料结构示意图。

图2 不同线缺陷角度下二维三角晶格声子晶体单个超晶胞的结构示意图。

本文采用4340型号的钢材料为散射体，以环氧树脂为基底，两种材料的相关参数如表1所述。与文献[5]采用同样的数值分析方法，在第一布里渊区，取一固定的值，倒格矢、、均取，其中，[6]。将本征方程转换成的以为特征值的矩阵方程[6]；进一步可求解出与分量的特征值，并得到相应的频率值[6]。

表1 本文所用材料的相关参数

材料	密度 ()	横波波速 ()
4340型号钢
环氧树脂

2. 数值结果与分析

文中填充率取为0.1至0.9范围时，考察在不同线缺陷角度下时，填充率对声子带隙的数目及相对频宽的影响。图3为填充率与带隙数目的关系曲线图。其中图3(a)至(d)对应的声子晶体结构依次为完整的钢/环氧树脂三角晶格二维声子晶体结构、引入60o线缺陷时的钢/环氧树脂三角晶格二维声子晶体结构、引入120o线缺陷时的钢/环氧树脂三角晶格二维声子晶体结构、引入180o线缺陷时的钢/环氧树脂三角晶格二维声子晶体结构。图4为填充率与最低带隙相对宽度的关系曲线图。同理，图4 (a)至(d)对应的声子晶体结构依次为完整的二维声子晶体结构、引入60o线缺陷时的三角晶格二维声子晶体结构、引入120o线缺陷时的三角晶格二维声子晶体结构、引入180o线缺陷时的三角晶格二维声子晶体结构。

图3表明，对于完整结构，填充率在0.1至0.9之间均有声子带隙出现，并且曲线整体上呈逐渐减小的趋势，带隙数目最大值为20条(相应的填充率为)；对于引入线缺陷结构，同样填充率为0.2时无带隙出现(如图3(b)所示)，曲线整体呈逐渐减小的趋势，带隙数目最大值为20条(相应的填充率为)；对于120o线缺陷结构而言，在F=0.1­0.9之间均有带隙出现，曲线总体呈增大减小再增大再减小的波动性，带隙数目最大值为20条(相应的填充率为)；对于180o线缺陷结构而言，曲线整体走势为先增后减并保持至0.7时带隙数目不变恒为1，之后又呈先增后减的趋势，带隙数目最大值为20条(相应的填充率为)。

图3 填充率与带隙数目之间的关系曲线。

图4 填充率与最低带隙相对宽度的关系曲线。

图4为最低填充率与带隙相对宽度之间的关系，与图3类似，曲线从上到下对应的晶体结构依次为完整晶体结构、引入60o线缺陷晶体结构、引入120o线缺陷晶体结构、引入180o线缺陷晶体结构。图4表明，对于完整晶体结构，随F的增大先增大后减小，带隙相对宽度最大值为0.540923 (相应的填充率为)；对于

60o线缺陷结构，随的增大呈波动性变化趋势，带隙相对宽度最大值为0.03931 (相应的填充率为)；对于120o线缺陷结构，随的增大呈波动性变化趋势，带隙相对宽度最大值为0.047852 (相应的填充率为)；对于180o线缺陷结构，随的增大先增大后减小，带隙相对宽度最大值为0.059702 (相应的填充率为)。

3. 结论

以环氧树脂作为基底，散射体为正方形的4340钢以三角形结构排列均匀地插入基底中，计算了完整晶体、60o线缺陷态晶体、120o线缺陷态晶体、180o线缺陷态晶体的带隙。结果表明，线缺陷态的带隙宽度与完整晶体的带隙宽度相比最大可增大约0.16倍；对于不同的线缺陷结构，在F=0.10.9的范围内均有带隙出现。并且讨论带隙数目N、最低带隙相对宽度与填充率之间的关系。文中结论均可对声子晶体器件的制备提供较好的理论指导。

参考文献

[1]林基艳, 林书玉, 王升, 等.点缺陷正方晶格声子晶体的大尺寸压电陶瓷复合换能器[J].中国科学:物理学 力学 天文学.2021,51(09): 100-110.

[2] 孙向洋.正方晶格声子晶体的带隙特性研究[D].北京: 北京工业大学, 2020.

[3] Sigalas M. M., Economou E. N. Elastic and Acoustic Wave Band Structure[J]. J. Sound Vib., 1992, 158(2): 377-382.

[4] Kushwaha M. S., HaleviP., Dobrzynski L., et al. Acoustic Band Structure of Periodic Elastic Composites[J]. Phy.Ｒev.Lett., 1993, 71(13): 2022-2025.

[5] 岳蕾蕾, 陈雨, 樊光辉 等. 缺陷态对4340钢—环氧树脂二维声子晶体带隙的影响[J]. 物理学报, 2011, 60(10): 513-518.

项目支持：云南省教育厅科学研究基金项目（名称：正方晶格声子晶体带隙及缺陷态特性；编号：2022J0907）。