早龄期混凝土时变抗拉强度分析

王玉洲

（陕西省建筑科学研究院有限公司，陕西省 西安  710082）

摘要：在线弹性断裂力学理论与流变学开尔文模型基础上建立了一个用以计算混凝土在双向受拉应力条件下的抗拉强度模型。该模型从微观角度出发，在假设混凝土是弹性体与粘性体组成，两者体积含量随时间变化的基础上，应用线弹性断裂力学J积分与液体表面热力学得出混凝土在双向受拉应力条件下的极限起裂应力表达式，在实验测得混凝土硬化过程中四个时间点的断裂能便可据此求出在各个时段的极限起裂应力。研究结果表明：该模型可用于求解混凝土在双向受拉应力条件下各个时段的极限起裂应力，且其变化规律与精度和实验数据符合良好。

关键词：开尔文模型；J积分；表面热力学；断裂能；起裂应力

Viel和Gallgaher等人对混凝土的单轴压缩进行了光弹试验，从微观和亚微观的层面上提出了受压破坏的机理，认为混凝土中各微粒间相互作用产生的劈拉力是受压破坏的原因[1,2]。因此真正意义上的‘受压破坏’实际上并不存在。本文假设水泥浆体、水泥砂浆、混凝土的力学特性符合开尔文模型，以开尔文体粘性成分与弹性成分的比例变化来表征上述三种材料的硬化过程，将开尔文体的断裂能分为弹性体的断裂能与粘性体的断裂能，并在J积分计算的基础上（双向受均拉）定量得出开尔文体的起裂应力。该模型实现了从微观到宏观尺度的过渡，考虑这种从理论上过渡受到各种实际干扰因素的作用，以实测断裂能作为在理论计算中的应用与纠偏，而且原理上较为科学。

1 混凝土时变抗拉强度模型研究

1.1 模型原理

在混凝土中，水泥可以作为‘活料’，而其它不参与水化反应的部分可以作为‘死料’。在水泥浆体模型中，开尔文体的应用十分符合水泥浆体的性质，对于水泥浆体的开裂等，本文引用开尔文体进行开裂后能量总体的变化，原理如图1所示：

在图1中（1）部分代表弹性体、（2）部分代表粘性体，对于弹性体部分本文应用J积分求得开裂后弹性体部分的能量变化，对于粘性体部分，本文将其视做油壶，作为一种‘液体’加以考虑，并由‘液体’的表面能变化来表征裂缝出现后能量的变化，对于整个开尔文模型来说，整个体系的能量守恒。

图1粘弹性成分随时间变化

（1）弹性体 （2）粘性体

Fig.1 Viscoelastic components changing with time

(1) Elastic body (2)Viscous body

1.1.1 弹性体部分

根据J积分的守恒，积分路径可以任意选择，可取积分路径J为以锐裂缝尖端为圆心，半径为R的圆周。其表达式为：

(1)

在线弹性条件下，固体的应变能密度为：

经过计算可得线弹性断裂力学中Ⅰ型裂缝

(平面应变条件下)      (2)

（平面应力条件下）        (3)

J积分与积分路径无关，所以无论积分路径如何变化，其J的值为唯一确定的常数，它与材料有关。

格里菲斯（A.A.Griffith）提出了应变能释放率作为材料裂缝失稳扩展的准则，其定义是指含裂缝体的总势能随裂缝开裂的变化率，其表达式为：

式中：a为裂纹长度；U为裂缝体每一单位厚度的总势能。

研究表明应变能释放率与J积分在线弹性条件下的值完全相同，即

对于Ⅰ型裂缝，在平面应变情况下，材料处于三向拉伸的状态，在裂缝尖端，，比平面应力情况更加容易开裂，所以本文采用Ⅰ型裂缝在平面应变情况下的J积分进行计算，且从工程角度看，这样取值安全性更高。

1.1.2 粘性体部分

液体的表面张力是力的概念的延伸，是在研究物体受力作用时所产生的结果。表面自由能是采用热力学理论来研究界面现象的量，是从能量的观点来研究物体的界面现象。

在开尔文体中，粘性体部分的表现形式是油壶模型，在弹性体发生形变消耗能量的过程中，油壶模型由于发生同样地形变而消耗能量。在水泥浆体的水化过程中可以得出弹性体部分随时间的增长所占含量慢慢增加，而粘性体部分所占含量则与之相反，如图1中（a）、（b）、（c）。本文将油壶模型发生形变而损耗的能量视做 ‘液体’表面的增加，也就是指粘性体的拉伸形变与油壶模型中‘液体’的表面的下降形变相等，那么粘性体可以采用比表面自由能这个液体固有的参数进行量化表达，而本文把温度与动能的能量变化放入粘性体体积含量变化这一变量中加以考虑，同样对于具有初始裂纹的粘性体，其扩展裂纹产生新表面所消耗的能量也可以采用上述假定，从而得出下列表达式：

(4)

对于式，其前一部分为应变能的储存（单位厚度单位面积），其后一部分为对外做的功（单位面积）,对于弹性体与粘性体，两者的形变完全协调，即完全相等。那么对于粘性体，用弹性体J积分后部分除前一部分，即为粘性体形变产生新表面积的比例：

经计算得

所以对于粘性体部分其在整个积分路径中的能量变化为：

(5)

可以看出其与积分路径无关，而与油壶模型中‘液体’本身的性质和弹性体的泊松比有关，是材料的参数。为此本文假设：粘性体的能量变化≈油壶模型中‘液体’的表面能变化

1.1.3 开尔文体

对于整个开尔文体，本文采用能量守恒的原则来探究其变化过程中的性质，可以轻易得出开尔文体的能量变化如下式为：总能量=弹性体部分的能量+粘性体部分的能量

对于具有初始裂纹的水泥浆体来说，开裂扩展形成每单位面积对整个开尔文体系的能量变化可以用式(6)表示为：

(6)

式中：表示开尔文体的单位面积能量变化，代表弹性体部分单位面积能量变化，代表粘性体部分单位面积能量变化，代表弹性体部分在单位厚度中所占的比例。

可以从式(6)得出其左右部分量纲是符合要求的，将上式扩展并在平面应变条件下可变换为：

(7)

如果将表达式(7)应用于水泥浆体，可以看到上式中的就是指水泥浆体的断裂能，而其后的则为临界应变能释放率，单位为，量纲完全符合要求，对于的取值，由于水泥的材料与组分的弹性模量都是快速加载条件下得到的，所以对于开尔文模型，其粘性体部分没有响应时间，所以表现出来的是弹性体部分的弹性模量[3]，本文采用弹性模量与水泥水化度为1时的弹性模量的比值来表示，即：

那么

同时的值也可以通过与的相关关系得到。

将上式中的与带入式(7)可得：

(8)

对于式(8)来说，未知量有两个，一是,一是，对于这两个未知量可以应用在两个时间点的数值并求解二元一次方程即可得出，当两个未知量求出后可得到水泥浆体断裂能的时程方程。

1.2 模型参数取值的确定

混凝土断裂能是产生单位面积裂缝所需要的能量，可表示为单位表观断裂韧带面积在构件断裂的过程中所消耗的断裂区域内能量。断裂能在试件实验时，会随着试件尺寸的增大而表现出明显断裂能增大现象，研究表明断裂能是材料的一个参数，其尺寸效应是由于断裂面以外的隐裂面耗能（附加能耗）随着试件尺寸的增大而递增的，实测结果同样表明断裂能可视为材料参数[4]。

在混凝土断裂过程中，骨料对裂缝扩展路径的影响很大，当骨料强度较高，基体与骨料界面粘结较弱时，开裂路径更多的是沿着界面处向前扩展，骨料多被拉出；当骨料强度弱于界面处时，开裂路径多是从基体开裂而后骨料开裂，骨料拉出较少。研究表明，混凝土开裂过程中的能量=水泥砂浆的断裂能量+拉断骨料的能量+剥离骨料的能量，且砂浆断裂的能量在混凝土的断裂能量中的比例很高，约为85％-90％，可是混凝土的平均断裂能却小于水泥砂浆的断裂能，但两者差别不大[5]。

对于骨料在断裂过程中所起的作用，至今没有定论，只是有研究表示混凝土断裂能与集料体积含量有很大关系，骨料粒径对于裂纹扩展有影响，但是影响的作用却无法得出一致结论。

本文在研究了水泥浆体断裂能过程中，研究了集料对混凝土开裂的种种因素[6、7、8、9]，在考虑粗骨料的断裂能时由于粗骨料泊松比较小，其平方作为零考虑，且粗骨料线弹性效果很好，所以忽略其粘性成分，所以综上所述故采用水泥砂浆断裂能表示不同体积含量骨料的混凝土断裂能，如式(9)表示：

(9)

式中：为混凝土中粗骨料的体积含量，为混凝土中粗骨料的弹性模量，为粗骨料的断裂韧性，为粗骨料断裂的比率，近似由实验确定，为粗骨料界面区断裂能折减系数，近似为水泥砂浆断裂能的比率，且。

将(8)式代入(9)式可以得出：

(10)

上式中：具有四个未知量，当求解时间段上的四元一次方程，即可将方程求出，那么就会得知混凝土断裂能的时程方程，在求解中，四个未知数均不为负，且对于一般混凝土粗骨料的断裂能大于水泥砂浆的断裂能。

1.3模型表达式的建立

本文在研究了水泥浆体的微结构与受力变形特点后，用转化为来表示完全弹性体的极限抗拉强度，同时在研究了粘性体与其表示方式油壶模型后，用油壶模型中‘液体’的热力学内压力来表示粘性体的抗拉强度[10]，其式如下：

(11)

式中：U表示液体形变中的(产生新表面)能量变化，V代表液体在能量变化过程中变化的体积。将上节中粘性体的参数代入上式，可得：

(12)

式中：代表弹性体的形变率（弹性体与粘性体应变协调），其值可由得到，由于是在长度方向单位化后得出的结果，所以对于公式(12)中做单位化考虑，取1m。

那么整个开尔文模型的极限抗拉强度可以由(13)式表达：

(13)

本文在研究了混凝土的初始裂缝后，提出具有初始缺陷的（具有一定长度的锐裂缝）混凝土结构，

假定混凝土的成型过程中骨料与水泥浆体的两相界面区为其薄弱环节，在研究混凝土极限拉应力下，界面区以低强度先于混凝土整个截面破坏，所以本文假设，粗骨料的当量直径为混凝土初始裂缝。关于(13)式中的的取值如(14)式：

(14)

式中：为混凝土中粗骨料的体积含量。

本文在研究了混凝土的裂缝后，采用水泥砂浆来代替混凝土应用开尔文体，因为对于混凝土来说，粗骨料对混凝土的开裂路径有巨大影响，但研究还不够充分，没有规律可循，相比较而言水泥砂浆开裂较为稳定（主要为水泥浆体断裂），细骨料断裂的数量很少，只起到阻裂的作用，同时由于细骨料的体积含量与细度模数对开裂路径有大的影响，本文忽略细集料界面区对水泥砂浆断裂能的影响，在计算弹性模量时将水泥砂浆作为均质体，作为一种近似情况处理，且认为水泥砂浆的开裂可认为混凝土结构出现贯穿性裂缝，即混凝土结构的破坏，为此，计算不同阶段混凝土的极限抗拉强度以水泥浆体的粘弹体比例为基准，即以公式

(13)为计算准则。

2 模型验证

应用文献[11]中的数据来计算混凝土的极限抗拉强度，混凝土的配合比如表1所示：

表1 混凝土配合比

Table1 Mix proportion of concrete

水胶比 (w/c)	骨料 （kg/m3）	砂子 （kg/m3）	水泥 （kg/m3）	表观密度 （kg/m3）
0.46	1049	787	365	2380

所用水泥为实验硅酸盐Ⅰ型水泥，水泥的各种参数如下：=3.1g/cm3、=1.15、=0.07ml/g，细骨料为河砂，细度模数2.6，密度为2.5g/cm3，粗骨料为玄武岩，最大粒径19mm，密度为2.8 g/cm3，粗骨料的断裂比率为（20～30）℅，计算混凝土的力学参数如表2所示，混凝土的时变极限抗拉强度如表3所示。

表2 混凝土力学参数计算表

Table 2Mechanical parameters table of concrete due to calculation

	0.70	0.8	0.88	0.92	0.95		1
T(d)	14	28	56	90	180
T(h)	336	672	1344	2160	4320
	0.205	0.228	0.249	0.263	0.282		0.322
	21.16	21.52	21.85	22.07	22.38		23.04
	10.65	10.77	10.88	10.96	11.07		11.29
	0.163	0.102	0.058	0.038	0.023		0
	25.88	24.35	23.43	23.09	23.01		23.04
	13.35	12.39	11.78	11.54	11.42		11.29
	0.287	0.244	0.209	0.192	0.179		0.157
	13.03	13.55	14.13	14.50	14.88		15.66
	7.53	7.65	7.81	7.93	8.06		8.32
	18.93	19.31	19.79	20.11	20.47		21.20
	0.89	0.91	0.93	0.95	0.97		1
回归可得： (适用于前期)
	24.72	25.37	26.10	26.56	27.04		27.99
	14.19	14.34	14.54	14.69	14.84		15.15
	35.72	36.20	36.79	37.21	37.64		38.51
	0.928	0.940	0.955	0.966	0.978		1
*	-	113.7	132.0	166.0	134		-
	-	52.47	54.46	55.60	54.60		-
，，； ，,；
	1.56	1.62	1.66	1.67	1.70	1.75

注：加*的是实测数据，实际断裂能是根据分数维度修正理论得出的，具体方法参考文献[12、13]，同时在求解混凝土各部分的断裂能时，所得方程很难有解析解，只是迭代解，分析其原因可能由于隐裂面消耗能量所致，水泥砂浆的弹性模量按球模型，按文献[5]中计算方法进行计算。

表2中各参数名称：

——水泥水化度；——水化时间；——水泥水化产物中Ca(OH)2体积含量；——水泥水化产物体积模量；——水泥水化产物剪切模量；——未水化水泥含量；——水泥浆体骨架体积模量；——水泥浆体骨架剪切模量；——水泥浆体孔隙率；——硬化水泥浆体体积模量；——硬化水泥浆体剪切模量；——硬化水

泥浆体弹性模量；——水泥砂浆体积模量；——水泥砂浆剪切模量；——水泥砂浆弹性模量；*——实测的混凝土断裂能；——混凝土真实断裂能；——混凝土起裂拉应力。

由于混凝土的抗拉实验数据非常难得，且由于水胶比、集料含量等的不同，所以混凝土的抗拉强度的离散性非常高，本文从文献[14、15、16、17]找出水胶比及粗骨料粒径相似的混凝土的抗拉强度数据来进行验证模型的正确性，由于混凝土的双向拉伸强度弱化效应，所以单轴抗拉强度进行（20～30）℅的折减，实验数据与模型线的关系如下图2所示：

图2 混凝土双向极限抗拉应力

Fig.3 Bidirectional tensile stress of concrete

3 结论

虽然，本文使用的是PI型硅酸盐水泥，未掺入水泥混合材料，与现实中使用的水泥具有很大的不同，但本文所使用的方法可推广应用到其他的硅酸盐类水泥。在理论的计算研究过程中，考虑到各种不确定因

表3 混凝土时变抗拉强度计算

Table 3 Time variable tensile strength of concrete

T/d	1	3	7	14	28	56	90	180
T/h	24	72	168	336	672	1344	2160	4320
	0.76	1.20	1.46	1.56	1.62	1.66	1.67	1.70	1.75

素对模型的影响，采用实测混凝土断裂能进行计算与纠偏，使得计算的结果更加接近材料真实性能，降低了离散率。且整个模型需要的材料参数多，使得计算结果更加接近于材料变化的真实情况。通过本文的研究可以得到以下结论：

(1)本文模型的计算结果与文献实验数据吻合的较好，基于混凝土断裂能测值的正确性与否、模型砂率与文献实验数据砂率的不同，计算的材料双向极限抗拉应力与实验数据并不完全等同，但模型走向趋势是符合混凝土自身受力性质的。

(2)混凝土断裂能与断裂韧性是混凝土固有的参数，在混凝土(开尔文体)受力的过程中，其弹性体比例增量总是大于其断裂能的增量，混凝土的极限抗拉强度与混凝土各个组成部分都相关。

(3)本文模型是在双向受拉应力条件下得到的，同样也可以应用上述理论思路来求解单向受拉应力条件下的开裂应力。

(4)本文模型缺陷是水化度为1时，水泥浆体假设为完全弹性体与事实不符，使得计算数值略偏高，但弹粘体所占比例变化较精确；鉴于此，可采用在式(13)前加修正系数来进行调整。而是与水泥浆体孔隙率与混凝土界面区相关的系数，其值的确定还需要做进一步的研究。

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作者简介：王玉洲，男，1984.11，河南新乡，硕士研究生，中级工程师，研究方向：建筑结构检测鉴定及其加固施工研究