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摘要：本文结合具体工程项目，基于流量平衡和压力平衡两大平衡原理，研究了一种环状管网水力平衡计算方法。掌握该计算方法后，就可以对环状管网的水力平衡状况进行分析计算。该方法不仅适用性强，操作简单，而且收敛速度快，精度高，是环状管网水力平衡分析计算的有效方法。
关键词：环状管网；水力平衡；计算方法；工程实例；
引言
在城市集中供热管网、城市燃气管网和城市给排水管网中，为了保障供水供气的可靠性与稳定性，干管一般采用环状管网。环网管网中，部分管段的流向有两种可能，即存在不确定性，并且环状管网中，某一管段的阻抗发生变化，则该管段和其他管段的流量都会发生变化，甚至部分管段中流体的流向也可能发生变化，这使得环状管网的水力平衡计算要比枝状管网复杂得多。现在市场上也有一些收费的计算环网水力工况的专业软件，但是随着计算机的发展，我们只要找到环网水力平衡分析的一般通式，就能结合计算机编程自行进行计算。现有文献[1-3]中也有介绍一些关于针对各种环网水力计算的适用方法，本文将通过实际案例说明如何通过具有普遍适用性的计算通式结合简单的编程得到环网水力平衡计算结果。
管网流量分配原理
环网水力分析计算前，用户的负荷和位置基本已经确定，但每个管段的流量、管径、部分管段内流体的流向、流动阻力都尚且未知。管网内的流量分配时，会遵循两个平衡，一个是质量平衡原理，即节点流量平衡，流入每个节点的流量一定等于流出该节点的流量；另一个是能量平衡原理，即回路压力平衡原理，从一个节点到另一个任意节点的N条分支，它们的压降一定相等。满足这两个原理的管网，其水力状况达到平衡状态。
管网中，各管段的端点称为节点。根据质量平衡原理，流入每个节点的流量一定等于流出该节点的流量，即任意节点处流量代数和为零，设流出该节点的流量为正，流入该节点的流量为负。将各节点处的分支流量与节点流量（也是用户流量）分别表示，分支流量用Q表示，节点流量用q表示，分支数用N表示，节点数用J表示。则节点流量就等于与该节点相关的所有分支的分支流量代数和，可表示为：
=0 (1)
式中，
为流动方向的符号函数； =1为i节点为j分支的起点； =-1为i节点为j分支的终点； =0为i 节点不是j分支的端点； 
为j分支的流量； 
为i节点的节点流量；i=1，2，3…,J; j=1，2，3…N。
式(1)即管网的节点方程或连续性方程。该式适用于管网中所有节点，用矩阵表示可写成：
BQ=-q (2)
式中，B为管网的关联矩阵，J×N阶矩阵； Q为N阶分支流量列阵，
=（
, 
,…
）；q为J阶节点流量列阵，q=
。
矩阵B中的J行，其中任意一行可由其他J-1行表示，这一行是多余的，且其他J-1行线性无关，所以矩阵B的秩为J-1，式（2）可改写为：
Q=-q’ (3)
式中， ——管网图的基本关联矩阵，(J-1)×N阶矩阵，由B删除参考节点对应的行得到；
Q——N阶分支流量列阵， =（ , ,… ）；
q’——J-1阶节点流量列阵，由q删除参考节点的节点流量得到。
式（3）即为节点流量平衡方程组，有N个未知数（分支流量），J-1个线性无关方程，对于环状管网，N＞J-1，所以仍有N-J+1个分支流量无法解出，其余J-1个分支流量可由这N-J+1个分支流量表示。
根据能量平衡原理，即回路压力平衡原理，从一个节点到另一个任意节点的N条分支，它们的压降一定相等。也可以表述为，任一回路，沿着回路方向，各管段的压降代数和为零。对任一环路，可表示为：
×Δ
-
(4)
式中，
为分支流动方向的符号函数； =1为j分支在i回路上并与回路方向相同； =-1为j分支在i回路上并与回路方向相反； =0为j分支不在i回路上；Δ 为j分支的阻力，沿分支流量方向为正，反之，为负；
为重力作用形成的流动动力，与环路方向相同为正，反之为负。
式（4）即为独立回路压力平衡方程。环网中节点数为J，分支数为N，其中有N-J+1个独立回路，与节点方程一起，共有(N-J+1)+(J-1)=N个独立方程，可解出N个分支流量。
当管网和用户的高差不太大时，重力作用可忽略，式（4）用矩阵表示可简化为：
(ΔP)=0 (5)
式中， 为管网图的独立回路矩阵，（N-J
+1）×N阶矩阵； ΔP为N阶列阵，ΔP=[Δ
,Δ
,…Δ
]T,ΔP=S
,S为分支管段阻抗，Q为分支管段流量。
管网的回路压力平衡方程组包含N-J+1个方程，与节点流量平衡方程组一起，共有(N-J+1)+(J-1)=N个独立方程，在节点流量，分支阻抗已知的情况下，可解出N个分支流量。但是由于压力平衡方程是非线性的，直接求解比较困难，尤其当独立回路数大于1时，将无法直接求出解析解。本文将结合具体工程案例，说明如何通过逐步迭代求出各分支流量。
环路水力平衡分析计算
本项目为区域供冷供热项目，共有7个能源站，需采用江水作为冷却水，冷却水由取水泵站统一供给，为保障供水稳定性与可靠性，供水干管敷设成环状，江水管网布置如图1所示：
图1 区域供冷供热项目江水管网布置图
从图1提取节点、分支流量信息等，再给各支依次进行编号，绘制江水管网干线图[4]如图2所示：
图2 区域供冷供热项目江水管网干线图
假定环网中的流体流向如图中所示4#能源站的用水由分支5和分支7共同供给，本环状干线图中，节点数J=8,分支数N=8，求解各矩阵如下：
1）选择8#能源站所在节点为参考节点，则基本关联矩阵 如下：
=
2）分支流量矩阵Q如下：
Q=
3）以节点8#能源站为参考节点的节点流量矩阵q’如下：
q’=
4）设定环路方向如图2所示，得到回路矩阵 如下：
=
由式（3） Q=-q’：
=
(6)
此方程组有7个独立方程，8个未知分支流量，该环路中独立回路数量为N-J+1=8-8+1=1,且由图2可看出，图中仅有一个环路，任一分支断开，该管网将无法形成环路，所以可选任一分支流量来表示其他分支的流量。为使分支流量符号尽量为正，应提高假设与实际一致的可能性，因此宜进行环网流向的初步判定。环网中各分支管段为输送干管，经济比摩阻在30-70pa/m，流速不超过3.0m/s，管壁粗糙度k=0.0005，由此可初步设定满足比摩阻和流速要求时的各管段管径，得到相应管径下各管段的比摩阻及阻抗，再结合项目实际管网图可知本项目中环网起点位于3 #节点，水流从该起点向两侧合拢成环网，计算后可得分支6、7的阻力之和与分支1~4阻力之和相近，考虑到假设与实际的误差，所以暂认为分支5的流向存在不确定性，因此将分支5的流量视为独立的，用来表示其他分支流量，并先假定其流向是由5#流向4#。综上，先将
视为已知数，由式(6)求得各分支流量如下：
(7)
由式（5） (ΔP)=0：
=0 (8)
该式可改写为：
(9)
该方程为一个一元二次方程，
均可如式（7）所示由 表示，但未知数前的系数均为非整数，常规方法不易得到方程的解，接下来，笔者将介绍适用性更强的解析方法，该方法不仅适用于只有一个未知数的方程求解，对于有多个未知数的方程组，同样可以求解，也就是说，当环路中有多个独立环路时，仍可使用本文介绍的方法进行求解。
式（6）与式（8）联立，共有8个独立方程和8个未知分支流量，即由式（7）与式（9）可以解出各分支流量。当各分支流量等于这组解时，该环路达到水力平衡状态。但是由于式（9）是非线性方程（组）,为求解带来一定的困难。我们可以先假定 的初始值
，将其代入方程，当式（9）成立时， 即为要求的解。在找到正确的解之前，代入 式（9）不等于O，令
f=
(10)
式中仅 是未知数，将其他分支流量代入得：
f=
上式中的f对 求偏导，得：
əf/ə =2
(
)+2
(
)+2
(
)+2
(
)+2
+2
(
)+2
(
)
不能使式（10）中的f=0，即f( )≠0，假设Δ 是 的修正值，能满足:
f(
Δ )=0 (11)
对上式的左边按Taylor级数展开，并舍去Δ 的二次方及以上项，得到：
f( )+
Δ =0 (12)
由上式得：
Δ =-f( )/（əf/ə ）
由此类推：
Δ
=-f( )/（əf/ə ）,i=0,1,2…n (13)
进而得到：
=
+Δ ,i=1,2,…n (14)
由于式（12）线性化时，忽略了二次方及以上的项，所以 只能是方程的近似解，但它在不断得向真实解逼近。在第k次计算后，将满足下式：
＜ε (15)
式中，ε是预先设定的满足精度要求的一个足够小的正数，即环路压力闭合差的最大允许值。
本工程实例中，各用户节点流量如图1中所示，即q为已知，先假定 的初始值 =0，即可求得其他分支流量
(i=1,2,3,4,6,7)。环网中各分支管段为输送干管，经济比摩阻在30-70pa/m，流速不超过3.0m/s，管壁粗糙度k=0.0005，由此可初步设定满足比摩阻和流速要求时的各管段管径，得到相应管径下各管段的比摩阻及阻抗，进而求得f和Δ ，逐步迭代，最终求得水力平衡状态下的分支流量。设环路压力闭合差的最大允许值ε=
pa,迭代计算中，各分支管段流量、管径、管长、比摩阻、阻抗等如下表1所示：
表1 环状管网各管段迭代计算表
迭代次数 | 节点编号 | 节点流量(m3/h) | 分支编号 | 分支流量(m3/h) | 分支管径(mm) | 分支管长(m) | 分支比摩阻(pa/m) | 分支阻抗(* | fi(Pa) | ΔQi (Pa) |
1 | 1# | 17659 | 1 | 45063 | DN2800 | 204 | 22.09 | 2.6633 | -10564 | 480.01 |
2# | 12782 | 2 | 35826 | DN2000 | 268 | 36.08 | 9.0397 | |||
3# | 7852 | 3 | 23044 | DN2000 | 493 | 25.84 | 28.789 | |||
4# | 11924 | 4 | 5385 | DN2000 | 712 | 30.3 | 892.68 | |||
5# | 5385 | 5 | 0 | DN2000 | 239 | 0 | 299.65 | |||
6# | 9237 | 6 | 17067 | DN1600 | 608 | 36.67 | 91.839 | |||
7# | 5143 | 7 | 11924 | DN1600 | 927 | 37.75 | 295.38 | |||
2 | 1# | 17659 | 1 | 45543 | DN2800 | 204 | 22.57 | 2.6633 | 194.8 | -8.54 |
2# | 12782 | 2 | 36306 | DN2000 | 268 | 37.05 | 9.0397 | |||
3# | 7852 | 3 | 23524 | DN2000 | 493 | 26.93 | 28.789 | |||
4# | 11924 | 4 | 5865 | DN2000 | 712 | 35.94 | 892.68 | |||
5# | 5385 | 5 | 480.01 | DN2000 | 239 | 0.24 | 299.65 | |||
6# | 9237 | 6 | 16587 | DN1600 | 608 | 34.63 | 91.839 | |||
7# | 5143 | 7 | 11444 | DN1600 | 927 | 34.78 | 295.38 | |||
3 | 1# | 17659 | 1 | 45534.47 | DN2800 | 204 | 22.56 | 2.6633 | 0.0616 | 0.0027 |
2# | 12782 | 2 | 36297.47 | DN2000 | 268 | 37.03 | 9.0397 | |||
3# | 7852 | 3 | 23515.47 | DN2000 | 493 | 26.91 | 28.789 | |||
4# | 11924 | 4 | 5856.47 | DN2000 | 712 | 35.84 | 892.68 | |||
5# | 5385 | 5 | 471.47 | DN2000 | 239 | 0.23 | 299.65 | |||
6# | 9237 | 6 | 16595.53 | DN1600 | 608 | 34.67 | 91.839 | |||
7# | 5143 | 7 | 11452.53 | DN1600 | 927 | 34.83 | 295.38 | |||
4 | 1# | 17659 | 1 | 45534.47 | DN2800 | 204 | 22.56 | 2.6633 | 6.19E-09 | 0.0000 |
2# | 12782 | 2 | 36297.47 | DN2000 | 268 | 37.03 | 9.0397 | |||
3# | 7852 | 3 | 23515.47 | DN2000 | 493 | 26.91 | 28.789 | |||
4# | 11924 | 4 | 5856.47 | DN2000 | 712 | 35.84 | 892.68 | |||
5# | 5385 | 5 | 471.47 | DN2000 | 239 | 0.23 | 299.65 | |||
6# | 9237 | 6 | 16595.53 | DN1600 | 608 | 34.67 | 91.839 | |||
7# | 5143 | 7 | 11452.53 | DN1600 | 927 | 34.83 | 295.38 |
由上表可知，迭代计算到第4次时，f=6.19E-09<<ε= ,达到计算要求精度，此时环路达到水力平衡状态。
由上表1得到各分支流量、管径，求得分支管段内流速，各参数如下表2：
表2 环状管网各管段相关参数
分支编号 | 分支流量(m3/h) | 分支管径(mm) | 分支比摩阻(pa/m) | 流速（m/s） |
1 | 45534.47 | DN2800 | 22.56 | 2.80 |
2 | 36297.47 | DN2000 | 37.03 | 3.21 |
3 | 23515.47 | DN2000 | 26.91 | 2.57 |
4 | 5856.47 | DN2000 | 35.84 | 2.08 |
5 | 471.47 | DN2000 | 0.23 | 0.17 |
6 | 16595.53 | DN1600 | 34.67 | 2.61 |
7 | 11452.53 | DN1600 | 34.83 | 2.40 |
校核上表中分支管段比摩阻、流速，符合要求，求解完毕，各分支流量如表中所示。
结论
本文结合具体工程案例，通过详细的公式及图表阐述了如何通过节点流量平衡方程组和环路压力平衡方程组求得环路水力平衡时的分支流量。通过本文实际案例的求解，得到进一步的结论如下：
本方法同样适用于有多个独立回路的复杂环网水力平衡计算，计算方法与本案例类似；
环网方向、分支流向的假定、独立分支初始流量值的设定是任意的，但为了尽可能快的收敛，宜在初步逻辑判定的基础上进行假设；
若计算完毕，分支流量出现负值，则表示该分支中流体的实际流向与假定的方向相反；
迭代过程中，若ΔQi发散，则应重新假定各分支的管径，调整独立分支初始流量值，重新进行计算。
本方法迭代收敛速度受初始假定管径的准确性、压力闭合差的最大允许值、独立分支初始流量值设定等的影响。其中各分支管径对迭代速度影响较大，因此要在合理的流速与比摩阻范围内初步设定管径，否则可能引起迭代次数增加甚至不收敛。
本文介绍的环网水力平衡计算方法适用性强、精度高，收敛快，计算者可手算，或通过简单的编程即可实现，而无须专业计算软件，具有较强的实用性，对系统的运行调试也具有一定的指导价值。
参考文献
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