圆锥曲线的综合应用

李雪飞

广西南宁市马山县周鹿中学 530603

摘要：从近年来数学高考试题的命题特点来看，其对于学生数学综合能力的考查愈发深入，十分注重学生的数学逻辑和思维方法的正确性。而就多数考题分布规律而言，圆锥曲线这类围绕数形结合思想展开的题型命题成了压轴题的重点考量对象。在高中数学课程的学习中，与圆锥曲线相关的知识点虽然不多，但在实际题型的变换上却灵活多变，对学生的思维能力具有较高要求。因此，教师在教学中，应多联系高考真题和一些与知识点对应性较强的经典题型，让学生能够在日常的训练和正式的考试中灵活应对圆锥曲线的综合应用题，从而帮助学生增强数学综合素养。

关键词：圆锥曲线；综合运用；高中数学；教学导向

纵观整个高中数学课程中有关圆锥曲线的知识会发现，要学好并应用这一知识，关键要把握好四个点，一是核心知识点的理解记忆；二是提高计算能力和运算速度；三是通过多作有效练习，掌握解题规律，像一些套路性的解题技巧和答题步骤等；四则是总结经典题型，落实实践探究。以这四步为学习战略，不仅能够帮助学生以更加科学有效的学习方式掌握圆锥曲线的基础知识，正确剖析知识点背后的应用基础和情境，还可以活化学生的数学思维、拓宽学生的思考广度，使其清楚地掌握与知识点相关的典型例题，从而在实际练习中增强知识的综合运用能力。通过归纳整合发现，圆锥曲线的综合应用题型大致可以分为七大类，每一类都是由两种及以上知识点复合而成的综合应用题，一般出现在试卷最后的几道压轴题中，是一张试卷中的难点，也是分数占比较大的部分。下文将例举有关圆锥曲线的一部分综合应用题型，在理论知识梳理清楚的基础上进行实际例题的分析。

一、圆锥曲线定点、定值问题的典例分析

圆锥曲线的综合应用题型中，有关定点和定值问题是热门考点，也是难度系数较高的考题类型，这类题型通常要求学生以探索性的思维处理之。定点问题可以先运用特殊值或者对称探索出该定点，再结合计算进行证明；定值问题则主要通过直接的计算和合理的推理得到定值，这一过程中相对来说比较考验学生对于推理和计算中对变量的把控。可见，这类题型还是十分锻炼学生的思维能力的。

例如：设F1、F2为椭圆x^2/9+y^2/4=1的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>| PF2|，求|PF1|/| PF2|的值。

解题思路分析：从题目的已知条件等信息中可以看出，在解题过程中会应用到焦半径这个知识点，那么通常就会联想到椭圆的两个定义。

具体解题步骤：可以利用两种方法进行解答。法一为：当∠PF2F1=90度时，由|PF1|+| PF2|=1、|PF1|^2=| PF2|^2+(2c)^2、c^2=5可以得到|PF1|=14/3，| PF2|=4/3，所以|PF1|/| PF2|=7/2；当∠F1 PF2=90度时，同理可以得到|PF1|=4，| PF2|=2，所以|PF1|/| PF2|=2。法二为：当∠PF2F1=90度，xp=√5，所以yp=+4/3，从而可以得到P（√5，+4/3），又因为F2（√5，0），所以| PF2|=4/3，|PF1|=2a-| PF2|=14/3；当∠F1 PF2=90度时，由x^2+y^2=(√5)^2、x^2/9+y^2/4=1，可以得到P（+5√5/3，+4√5/3），又因为F2（√5，0），所以| PF2|=4/3，|PF1|=2a-| PF2|=14/3，所以|PF1|/| PF2|=2。

从上述案例可以看出在解决有关圆锥曲线定点、定值类问题时，要对题目中所给的信息进行全方位的考虑，像上述例题就要根据|PF1|>| PF2|这一已知条件对直角顶点的两种情况进行分类讨论。只有将所有可能出现的情况都考虑到位，才能算圆满解答此题。

二、直线与圆锥曲线位置关系综合应用题

直线与圆锥曲线的位置关系是常见的题型，尤其在应用题中，出现的频率很高。这类问题主要从判别式的分析入手，通过判断△与0之间的大小关系，得出直线与圆锥曲线准确的位置关系。在解答这类问题时还要注意一些容易忽略的点，像设直线方程时一定要考虑到斜率不存在的情况，为了避免漏掉，可以提前对该情况进行讨论分析。在两者位置关系判断的基础上就可以进行直线方程的求解，或者其他问题的解答。

例如：已知x^2+y^2=1，双曲线（x-1）^2- y^2=1，直线l同时满足下列两个条件：①与双曲线交于不同两点；②与圆相切，且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。求直线l方程。

解题思路分析：第一步要选择合适的直线方程形式，把题目中的已知条件“l是圆的切线”“切点M是弦AB的中点”转化为关于参数的方程组。这是解题的切入点，也是考查学生对题目信息的理解和分析能力的一部分。

具 体解题步骤：可结合图形进行解答。这道题的解析有两种方法，方法一：先对斜率不存在的情况进行简单说明，当l斜率不存在时，x=-1满足；当l斜率存在时，设l：y=kx+b，l与圆O相切，设切点为M，则|OM|=1，所以|b|/√k^2+1=1，所以可以推出b^2=k^2+1 ①；由y=kx+b、（x-1）^2- y^2=1可得（1-k^2）x^2-2(1+kb)x-b^2=0，当k不等于

+1且△>0时，设A（x1,y1）、B(x2,y2)，则中点为M(x0,y0)，x1+x2=2(1+kb)/1-k^2，x0=1+kb/1-k^2，所以y0=kx0+b= k+b/1-k^2，又因为M在圆O上，所以x0^2+y0^2=1，从而得到(1+kb) ^2+ (k+b)^2=（1-k^2）^2 ②。由①②可得k=√3/3，b=-2√3/3或者k=-√3/3，b=2√3/3，从而得到直线l的方程为y=√3/3x-2√3/3或者y=-√3/3x+2√3/3。方法二：先设置M点的坐标(x0,y0)，则切线AB的方程x0x+y0y=1，当y0=0时，x0=+1，显然只有x=-1满足；当y0不等于0时，y=-x0x/y0+1/y0，代入（x-1）^2- y^2=1可得(y0^2-x0^2)x^2+2(x0-y0)^2x-1=0，因为y0^2+x0^2=1，所以，可以将方程进一步简化为(1-2x0^2) x^2+2(x0^2+x0-1)x-1=0，再由中点坐标公式和韦达定理可以得出x0=-(x0^2-x0+1)/1-2x0^2，亦即2 x0^2- x0^2-2x0+1=0，解得x0=+1（舍去），x0=1/2，y0=+√3/2，依次往下解答即可。

基于上述例题分析可得，不管设定哪一种参数，都必须将图形的两个条件，也就是“相切”和“中点”转化为关于参数的方程组，再进行下一步的解答。而后续的解答主要都是计算，要求学生细心处理数据。总的来说，解答此类题目要学会阅读题意，抓住关键信息，才能帮助解题。

三、圆锥曲线不同类型的轨迹问题的分析

在联系圆锥曲线轨迹问题时，往往涉及的知识点不仅仅止于此，很多时候还会牵涉到参数范围问题，而无论侧重于哪一方面，整体的解题思路都是围绕固定的几种方法进行解答，像几何法、代数法、相关点法等。当然，具体问题还需具体分析，在不同的条件背景下，解题的切入点也有所区别，下面以一道例题详细阐述之。

例如：设点P到M（-1,0）、N（1,0）的距离之差为2m，到x轴、y轴的距离之比为2，求m的取值范围。

解题思路分析：该题材料十分简短，但都是关键的已知条件，根据题意可知，应从P点的轨迹着手，展开分析。

具体解题步骤：由题意可得||PM|-| PF2N||=2m，由此可以推断出点P的轨迹为双曲线，方程为x^2/m^2-y^2/1-m^2=1（|m|<1） ①；又因为y=+2x（x不等于0）②，联立①②可以得到x^2= m^2(1- m^2)/1-5m^2，将这一式子看成是x^2= m^2(1- m^2)/1-5m^2关于x的二次函数式，在该条件下求二次函数的值域，从而得到m的取值范围。根据双曲线的有界性：|x|>m，x^2>m^2，所以x^2= m^2(1- m^2)/1-5m^2>m^2，又因为00，即|m|<√5/5且m不等于0，最终得到m∈(-√5/5，0)∪(0，√5/5)。

结合上述案例分析可以得到，在分析圆锥曲线不同类型的轨迹问题的题目中，首先要对题目中的已知条件进行分析，并从中探索出解题的切入点，像在上述例题中，第一步就应先利用双曲线的定义找到点P的轨迹，当题目条件有等量关系时，一般则考虑利用函数这一数学思想，通过建立函数关系式，来得出参数范围。

总而言之，在高中数学的学习过程中，综合应用题是必须掌握的板块，而圆锥曲线综合类题型作为运用数形结合思想解答的典型例题，在历年的高考命题中占有较大的比分，当然，其所具有的难度也是不言而喻的。因此，教师在引导学生学习该知识时，要将与之相关的真题，尤其是近年来的高考试题，作为同步练习，要求学生结合教材中的学习内容多练习。毕竟，在实践探究中才能更有效地总结出命题特点，才能更好地分析高考题型的一般规律，从而使学生以科学的解题技巧和灵活的数学思维应对之，并获得数学综合学习能力的全面提升。

参考文献：

[1]高群安,郑晴.一道圆锥曲线综合题的多种精妙解法[J].数理化解题研究,2020(34):25-26.

[2]喻峥惠,吴彤.2019年高考“圆锥曲线与方程”专题解题分析[J].中国数学教育,2019(18):28-36.

[3]任佩文,张强强,霍文明.2018年高考“圆锥曲线与方程”专题命题分析[J].中国数学教育,2018(Z4):122-128.