探究正比例函数与反比例函数线性关系的图像和性质

蔡斌

云南省玉溪市通海县第一中学 652700

关键词： ，正双勾函数，负双勾函数，双递增函数，双递减函数，图像，性质，应用，快捷，高效。

摘要： 的图像、性质及其应用。

引言

在初等函数的研究中，经常会遇到形如 的函数。熟练掌握它的图像和性质，往往能在数学问题的解题过程中，发挥事半功倍的效果。

一、双勾函数的图像和性质

当 时， 的图象形如双勾，我们就形象地叫它双勾函数。其中，函数 叫做正双勾函数；函数 叫做负双勾函数。

1. 正双勾函数 的图像和性质

正双勾函数 的定义域是 ，值域是 。内减外增：它在 上单调递减，在 上单调递增。它是奇函数，图象关于坐标原点对称。

2. 负双勾函数 的图像和性质

反双勾函数 的定义域是 ，值域是 。内增外减：它在 上单调递增，在 上单调递减。它是奇函数，图象关于坐标原点对称。

例题1. 写出函数 的单调区间和值域。

解：由双勾函数的图象和性质知： 。

在 上单调递减，在 单调递增。值域是 。

例题2. 函数 的最大值是

解：

令 ，它的图象是正双勾函数在第3象限的那个勾。当 时， 取得最大值，最大值是-8.

∴当 时， 取得最大值，最大值是-11。

例题3. 函数 的值域是 。

解：

令 ，则

，这是反双勾函数在第4象限的一部分，它在区间[2,4]上单调递减。

当 =2时， 取得最大值-4.

当 =4时， 取得最小值-5.

∴ 的值域是[-5,-4].

二、双递增、双递减函数的图像和性质

当 时， 的定义域是 ，值域是R。它是在 上的递增函数。它是奇函数，图象关于坐标原点对称。我们形象地叫它双递增函数。

当 时， 的定义域是 ，值域是R。它是在 上的递减函数。它是奇函数，图象关于坐标原点对称。我们形象地叫它双递减函数。

例题4. 写出函数 的单调区间。

解： 是双递增函数，它的定义域是 ，它在 上单调递增。

例题5. 写出函数 的单调区间。

解： 是双递减函数，它的定义域是 ，它在 上单调递减。

例题6. 函数 的值域是 。

解：∵双递增函数 在[-3,-1]上单调递增。

是增函数，值域是 ,即

总结：一、 的图像和性质

条件
别名	正双勾函数	负双勾函数	双递增函数	双递减函数
图象
定义域
值域
奇偶性	奇函数	奇函数	奇函数	奇函数
单调性
极值			无极小极大值	无极小极大值

二、结合换元法的思想，形如 的函数的图象和性质，都可以用本文中的方法快捷得出结果。省时省力，效率倍增！而当 时， 变成了 （反比例型函数）；当 时， 变成了 ，问题都好解决。

参考文献：普通高中教科书数学A版P_.92.探究函数y=x+的图象与性质