由特殊到一般方法在高数学习中的运用分析

郑准

惠州工程职业学院 广东惠州 516023

摘要：一个良好的数学学习方法属于学好数学知识的首要条件，更是一项基本功，而基本功越扎实，学习者能够攀爬的高度便会越高。对于高数而言，其具备着较强的严谨性以及抽象性，一个优秀的数学学习方法是提高学习高数知识效率和质量的重要手段。因此，本文便针对由特殊到一般方法如何在高数学习中进行运用做出分析和探讨。

关键词：高数学习；特殊到一般；方法运用

前言：通常情况下，人们在认识世界的过程中，都是从特殊到一般，然后再从一般到特殊。对于数学知识而言，其是研究现实世界数量关系以及空间形式的一种科学知识，而对于现实世界当中事物的特殊性来说具备着一定的普遍性，同时个性当中也具备着一定的共性，这一点在高等数学当中便呈现出了特殊与一般之间的辩证关系。在高等数学当中对这一思想方法进行科学合理的运用，有助于更好地掌握高数知识，推动学习质量和效率不断提高。

1. 特殊到一般方法的领会

对于高等数学而言，其属于中学数学的推陈出新，也可以看作是中学数学知识通过重新组合之后诞生的一些解决新问题的方法^[1]。因此想要学习高等数学，便需要对中学数学的内容进行回顾。而结合高等数学教材的第一章以及第二章，来对中学数学的过程进行回顾，可以帮助学习者有效领会从特殊到一般的学习方法，从而使得学习者可以在充分了解“特殊到一般”这一思想方法的基础上，熟练地对其进行科学合理的利用。

例如：在对函数的概念进行学习时，可以先举出一个较为简单的做匀速直线运动的相应物体的实例，通过这一实例，充分认识到取值发生变化的量分别是变量时间以及路程，针对于时间的每一个值，相应的路程都会有一个唯一的值与其进行对应。这样一来，就可以将本身发生变化的量称作为自变量，由于自变量的变化而出现变化的量称之为因变量。对于这种由初中数学知识反映出来的变量关系，便是最为朴素的函数关系，从而可以想到自变量的取值范围称之为定义域，而相应的因变量的取值范围称之为值域。而对于定义域到值域这两个数据之间的映射关系便属于函数关系。切实依照从特殊到一般以及从简单到复杂的方式，借助找准这一简单实例存在的本质规律，便可以平行相似地有效推广到一般问题，进而用自身的语言准确表达出来得到的便属于函数的定义。借助这种方式，学习者便可以初步领会以及掌握由特殊到一般的思想方法。

学习者在初步掌握这种方法之后，便能够借助此种方法，开展进一步的函数表示方法的复习以及回顾。例如：学习者可以将相对较为简单的一条直线方程作为推导案例，利用这条直线的数学表达式存在的对应关系，采取列表的方式，借助给一个自变量的值，以此来得到一个函数值，这样就能够得到坐标系上的两点，在此基础上将这两点连成线，便能够得到一次函数直线的图像。如此便可以依照由特殊到一般的方法有效总结出一般函数的具体表示方法主要为解析式法、图像法以及列表法。经过这样一个过程，学习者便又一次温习了从特殊到一般的学习方法，从而对该方法有了一个较为深入的领会，此时便可以借助这种方法开展函数的特性的学习。在开展函数的周期性、有界性以及单调性等的复习过程中，针对每一个特性，学习者都可以先列举出一个实例，通过这些最简单的实例图形充分反映出来的一些规律以及本质，借助自身的语言对其进行描述，便能够得到函数的特性。

综上，学习者借助回顾以及复习中学数学知识，便能够真正地学会从特殊到一般的学习方法。在此基础上，进入到高数第三章以之后的知识学习时，学习者便可以借助这种方法开展新内容的学习^[2]。

2. 由特殊到一般的方法在高数学习当中的有效运用

对于第三章的学习可以从中学熟悉的数列这一概念入手，例如：对数列n分之一，如果项数n趋近于无穷大时，那么数列的第n项便会无限趋近于0，因此该数列的极限便可以确定是0。借助这个特殊的又简单的案例，能够推导出一个数列的极限的定义。然后再考虑到由于数列属于特殊的函数，同时一个函数的自变量不但可以是正数，同时也可以是负数，因此一般的函数自变量出现的变化则可以呈现出两种变化情况，一是趋近于无穷大，二是趋近于有限值。这样就能够由特殊的函数——数列的极限，有效推广出一般函数的极限^[3]。

对于第四章的学习，则可以借助曲线上某点的切线斜率以及相应的变速直线运动瞬时速度这两种较为特殊的实例进行推导，利用自身的语言对一般导数的定义进行概括。再通过导数的定义能够有效推导出本章的一些其他内容。

对于第五章的学习，则可以借助特殊的实例图形来进行推导，例如：借助数形结合的方式将函数的最值、极值以及单调性和凹凸性等进行有效推理。除此之外，依照从简单到复杂的思想方法，还能够将二元函数的最值以及极值有效平行推理出来。

对于第六章的学习，则可以将求平面当中求曲边梯形面积作为特殊实例进行推导，准确抓住分割、求和以及取极限的特征，利用从特殊到一般的思想方法，从而用自身的语言有效归纳以及概括出定积分的定义。

对于第六章的学习，则可以将求空间曲顶柱体的体积作为特殊实例进行推导，可以有效推理出二重积分的定义。

对于第八章的学习，则可以从求一个微分方程这个相对较为简单的实例进行推导，从而将一般微分方程的概念有效地概括、归纳以及推理出来。

通过上述分析来看，由特殊到一般的方法能够贯穿高等数学学习始终。学习者借助这种方法开展学习活动，能够化难为易，将抽象的数学知识转变为具体的数学知识，不但有助于自身自学能力的提高，同时也可以进一步增强自身利用由特殊到一般的方法解决一些新问题的能力。

结语：综上所述，对于从特殊到一般的方法而言，其属于数学学习以及教学当中一种非常重要的思想和方法，学习者在对其运用的过程中，针对某一问题的处理，应该以特殊问题作为推导案例，也就是起点，然后抓住问题的特点，再借助分析、讨论以及层层深入的方式，将其推广到一般，这样便可以从解决特殊问题的规律中，有效找到解决一般问题的规律以及方法，从而提高自身的学习效率和质量。

参考文献：

1. 李国峰.从特殊到一般助推数学思维[J].理科考试研究,2018,25(24):31-33.

2. 高崚嶒. 高职本科高等数学课程的建设与思考[J]. 数码设计（下）,2021,10(5):241-242.

3. 孙豫. 试论高等数学教学方法的创新[J]. 湖北开放职业学院学报,2021,34(1):12-13.