材料力学应力状态与线性代数知识点的交叉教学研究

刘欢

重庆科技学院 建筑工程学院，重庆 401331

摘 要：数学和物理是两门紧密相连的学科，存在很多知识的呼应。如果能够准确利用这种知识间的补充，就能够帮助学生理解一些晦涩难懂的知识点，达到更好的教学效果。物理学中，材料力学理论是重难点，对很多学生而言，理解起来有一定的困难。尤其是在应力分析章节的讲解中，由于缺少相关理论的支持，讲解起来比较抽象。但如果能够提前掌握线性代数中的相关知识，就能够很好地理解材料力学中应力分析的过程。基于此，本文探讨了材料力学应力状态与线性代数知识点的交叉教学，通过开展交叉教学，能够深化学生对两门课程的理解，达到事半功倍的效果。

关键词 材料力学 线性代数 交叉 主应力 特征值

0 引言

力学知识在社会生产中的应用十分广泛，尤其是各种工程的施工设计，都离不开力学知识的支持。与其他物理学知识相比，力学中涉及到的数学理论更多。尤其是材料力学，由于杂揉了数学知识，显得更加深奥复杂。和其他的物理课程相比，材料力学覆盖的知识点范围更广，学生不仅需要记忆大量的陌生名词，还要充分理解这些名词的概念和含义。例如，泊松比、压杆失稳等，对于学生而言，都是十分抽象陌生的。部分学生采取了死记硬背的学习方式，但并没有真正地理解这些知识，在进行应力分析时，不知道从何下手。这对材料力学课程的授课而言，是极大的阻碍和麻烦。

在数学学科中，线性代数向来是令学生头疼的章节。学生在高中课程中，没有任何关于线性代数的铺垫，对线性代数的学习可以说是毫无基础，需要从头开始。学生不仅要识记矩阵、行列式等陌生概念，还要基于对这些名词的理解，进行相关的变换和数学计算。这令部分学生感到困难和枯燥，学习的积极性和主动性得不到调动。在线性代数课程中，特征值和特征向量的应用十分频繁，几乎贯穿线性代数课程的整个学习过程。很多学生都是知其然而不知其所以然，只是套用了现成的公式进行计算，却对其真正概念一知半解。这就使得线性代数的教学效果不理想，也给学生造成了极大的压力。

材料力学中的主应力和线性代数中的特征值，两者存在对应关系。这使得物理学科和数学学科之间的联系被建立起来，形成了一个交叉关系。如果能够充分利用这种对应关系，开展交叉教学，那么在单科教学中遇到的困难，都可以迎刃而解。学生能够更好地理解应力分析过程，以及特征值和特征向量的概念。在实际的交叉教学中，也是对线性代数和材料力学的一种有效回顾。本文接下来将介绍材料力学中，应力分析教学过程中的难点，同时对在理解特征值的基础上教学的优点进行分析。通过实际的案例，来说明主应力和特征值之间的关系，加深学生对这两个知识点的理解。

1 交叉知识点

目前比较流行的两本材料力学教材，分别是刘鸿文编著的《材料力学》和张少实编写的《新编材料力学》。这两本教材对应力分析的位置安排有所区别，但都有其合理性和优点。刘鸿文教授把应力分析的相关内容，安排在基本变形和组合变形两者之间，起到一个承上启下的过渡作用。这样的安排体现了应力分析的求解功能，在掌握了应力分析能力后，学生能够在理解基本变形的基础上，对组合变形的相关例题进行求解。而张少实教授则将应力分析放在教材的第一个章节，目的是为了统领全文，让学生在开篇就领会到材料力学的精髓。考虑到线性代数中特征值和应力分析的对应关系，在开展两学科的交叉教学时，选择张少实版本的教材，更容易达到预期效果。接下来，将结合应力分析和特征值的知识特点，对交叉教学设计进行介绍。

1.1 任意截面上应力计算与坐标变换

某点的应力大小，与该点所处的位置无关。但其方向却受到截面法线方向的影响，应力的方向随着截面法线位置的变化而变化。因此，找到应力和截面法线之间的关系，对于求解应力有着重要作用。各个方向上的应力分量，构成了应力合力。因此，通过探究应力分量和截面法线的关系，并总结出其变化规律，就能够准确掌握应力的方向和大小。为了使探究过程易于理解，引入数学中的坐标。把截面的法线方向规定了坐标轴，用数学式子来表示截面的应力分量，应力分量的变化，也就转化为数学坐标的变换，更加易于计算。同时借助相关的数学知识，建立应力矢量和不同分量的表达式。不同方向的应力分量，叠加合成了应力矢量。研究结果表明，应力分量满足向量的变换条件，属于二阶对称向量。同时借助转轴公式，能够说明虽然应力分量随着截面方向的变化而变化，但经过叠加，最终应力矢量是没有发生改变的。

1.2 主应力/主应力方位与特征值/特征向量

通过应力分量和矢量的表达式，可以计算应力的极值和对应的角度，具体推导可以参考刘鸿文老师的材料力学。在学习中，学生往往通过机械记忆的方法将这几组公式记在脑海中，然后在考试中生搬硬套，极少有学生能够自己按照静力学平衡的思路推导建立这几组公式。

对比特征向量的坐标变换和应力坐标变换，可以发现两者结果是完全一致的，而特征向量和截面的方位角恰好也是对应的，说明材料力学和线性代数的这几个知识点完全可以交叉。并且在上课的过程中，教师可以利用建模软件MATLAB，用应力表示特征向量和特征值。既能够促进学生对相关知识点的理解和掌握，还可以强化计算机辅助教学，让学生“学有所用，用有所依”，而不是仅仅被灌输干涩的知识。

2 材料力学与线性代数的交叉教学案例

通过上面的介绍和说明，在进行应力分析时，就可以引入线性代数的相关知识，把抽象的力学知识，转化为数学表达式进行求解，能够帮助学生更好地理解和解决问题。首先，把题目中的应力分量写成矩阵。对矩阵表达式进行变换和求解，得到该矩阵的特征值和特征向量。在良好的线性代数基础上，这一过程十分简便。由于应力和特征值是对应的，求解得到特征值，就意味着主应力也得解。而应力方向的确定，则需要判断特征向量的方向。在各应力分量中，最大应力的方向和应力矢量是垂直的，而最小的应力则与特征向量方向一致。如果特征值都为正，那么特征向量的方向就与截面法线方向重合。

总而言之，虽然材料力学中应力分析过程十分抽象，但由于应力和特征值之间是对应关系，就可以把应力分析问题转化为坐标变换问题，通过建立数学向量表达式，来求得最终的结果，完成应力分析过程。这需要对线性代数知识有一定的了解，能够理清应力旋转和特征向量旋转的一致性。在这个过程中，当应力旋转到某个角度时，只有对角线上的应力分量才存在，把这个力称为正应力。正应力的大小，就是向量矩阵的特征值大小。这个特殊的旋转角度，也就是向量矩阵的特征向量。

3 结论

交叉课程内容，扩展课程背景，是目前教学改革和课程建设的一个重要方向。本文针对材料力学和线性代数的两门课程的知识点交叉教学展开了探讨，建立了材料力学和线性代数知识点之间的联系，具有重要的理論实践意义。在材料力学应力状态的学习阶段，针对主应力，主应力的方位联系线性代数中的特征值和特征向量，并利用线性代数中的坐标变换解释了材料力学中任意方向上的应力计算。通过两门课程知识的交叉，对同学们理解这些数学定义和力学物理概念有重要的意义。

相关的案例研究指出，通过开展两门课程的交叉教学，学生对知识的理解变得更加简单，这充分地调动了学生的学习兴趣，也丰富了学生利用材料力学和线性代数知识解决工程问题的经验。因此，相关人员应该重视交叉教学学科设计，使得这种教学模式发挥更大的作用。

参考文献

[1] 郭空明，徐亚兰，朱应敏.线性代数线性方程组教学中的一个实用力学案例[J].教育教学论，2020（09）：266-267.

[2] 郭空明，章云，徐亚兰.对高校工程力学课程的多方位思考[J].教育教学论坛，2019（37）：195-196.