地铁盾构隧道洞门环中心测量方法及应用研究

菅江华 隋建

广东省深圳市南山区粤海街道联想大厦旁中国建筑项目部 518000 广东深圳

地铁建造过程中，最困难的步骤之一莫过于地铁盾构时隧道洞门环中心的测量，在实际测定过程中，往往需要比较复杂且精妙的数学知识和计算机知识，通过复杂的转换来计算和拟合，以求得最终的结果，虽然这是实际使用过程中的，但存在着广阔的改良空间。在这里可以结合三维坐标和最小二乘法进行测量。由于想法抽象层次较高以下仅对部分重点公式进行讲解。

一、背景介绍

在进行隧道施工时，通常会使用盾构机，一般需在出发和到达的洞口设置洞门圈。这样有助于将混凝土管片和整体结构连成整体。有利于预防节点处的水泄露。洞门圈的形状通常为圆环状。而在运行过程中，盾构机的导向系统往往根据三维坐标来明确方向，这就有助于后面三维坐标的使用。由于设计与具体实施中间存在误差，导致洞门圈的实际中心和设计中心不重合，所以必须对洞环中心进行测量。同时其精确程度与能否成功出圈有着莫大的关系，所以越精确的测量越是成功。洞门圈的形状为一个圆环，且实际过程的洞门圈并不规整，往往并非是一个完整的圆形，难以直接实施测量所以必须设计间接测量。

二、基础知识

根据数学知识，3个不在同一直线的点必能构成一个圆，所以可以在洞门圈的边缘上取3个点（必不在同一直线），并计算且保留其三维坐标。这3个点的外接圆圆心即我们需要测量的圆心，求出其坐标即可。同时，为了提高精确度，减少误差，可重复选取多组3个点，最后求平均。此时需要按照最小二乘法来处理数据。

三、数学建模

由空间圆心公式可得

在此方程组中，（1）式是空间平面方程，（2）式是相交球面方程。平面与球面的相交曲线即为圆，当两方程所代表曲线相交时，满足下面的圆方程：

方程（1），（2）所表示的圆与（3）所示的球面圆心相重合，圆心坐标即 ，半径也匹配。为规范化表达。令平面法向量为单位向量，即满足：

同理可得，再选取另外一组3个点，列出上述方程，共得8个独立的方程式。通过变换均可消除。这些参数中X₀,Y₀,Z₀和R即为所求圆的中心坐标和半径。

通过测量多组数据，选择多个3点，可得出多组测点结果，此时就必须用最小二乘法来处理。

首先对（1）式中的4个未知参数A、B、C、D求解。从理论上讲，圆是一个二维平面图形，从圈边缘选择的测点都在同一平面内，但在实际情况下，由于洞门圈切割的不平整性，所选取的测点基本不在同一平面。这时就要通过测点拟合假想平面。这个平面必须满足的条件是：所有选取的测点到拟合假想平面的距离平方和最小，此时，由于误差极小，可认为此假想平面与实际平面重合。

选取m个观测点，坐标分别为 ，为便于在测量坐标系下的计算，可令 ， ， 并且令 ， ， ，从而建立新坐标系，官方语言为重心坐标系。

要使拟合的假想平面过重心坐标的原点，则其必须满足以下形式：

可由以下2个公式联立证明：

接下来可通过对Q求导求得，详细过程不多赘述。

接下来要进行的是求解A、B、C。通过上述公式可证明D=0，此时所满足的条件是 ，所以d的正负状态与Q无关，去掉绝对符，在重心坐标系下，第i个点到假想平面的距离可表示为（6）式子：

接下来可通过泰勒展开并保留一次项得新式，在新式中，可得到A、B、C的近似值。再选择3个测点坐标可按照上述方法求得。同时可得到 、 、 三个未知数的改正数。依次求导后，可求出d_i对应的偏导数值，为方便书写，统一简写如下：

因此，无论在洞门圈边缘选择几个点，都能求得几个方程。这n个方程式与间接平差的误差形式完全相同。可用矩阵形式表示为：

同时，还需加上限定条件 ，将该条件转换为方程 。在（A^o，B^o，C^o）处通过泰勒展开后表现为矩阵形式

通过互相代入求解相消，最终解下面方程组：

即可得到 ，进一步求解后便可拟合出假想平面。所需测量的圆心也在此平面上。

接下来，我们再依照最小二乘法的思想继续求解X_o,Y_o,Z_o,R。同样，依据“各测点到圆心的距离与圆半径之差的平方和最小”的思想，列出各测点到圆心的距离与圆半径之差的计算公式：

由于上式仍保留非线性的性质，可使用泰勒展开并保留一次项，使上式线性化可得：

为了便于书写，可采取简写的方式。

将n个测点代入此公式可得n个方程。这n个方程与间接平差的误差方程式相同，同样可使用矩阵形式进行表述：

由于之前我们提出了约束，将圆心限定在了所拟合的假想平面上，所以必须跟进一个附属公式：

同样可用矩阵形式表达为：

与前述思想一样，此两式的最小二乘法也可按照有条件的间接平差来结算，此处不再赘述。

综上所述，求得圆心的坐标和半径的改正系数 、 、 、 。通过改正系数可进一步求得真实坐标和半径。值得一提的是，上述所有计算过程都是在之前所构建的重心坐标系中进行的。最终得出的结果，此处主要是指圆心坐标，也是重心坐标系中的，所以最后要进行一次逆变换以求得真实值。

到此处为止，便成功实施了坐标测量，下一步，就要对其精度进行检验。

四、精度检验

精度检验的思想需参照间接平差精度评定方法。首先，是要求出单位的权重误差，法向量代表的方程的系数逆矩阵，即权逆阵。这样便可求出圆心半径和坐标的中误差。

这个误差在实际情况下可大可小，导致误差产生的原因也是多样的。可能是加工过程不够精细，因过于粗糙而导致；也可能是安装过程时产生的误差；也有可能是测量坐标时的测量误差和计算误差。

总而言之，误差不可避免但能够尽力减少。更精巧的设计，更精细的仪器和更精妙的计算方法是减少误差的不二途径和最强抓手。

五、进一步的思考

实际情况下，这种复杂且繁琐的计算都并非由人工完成，而常常是借助计算软件。根据公式和具体情况来看，通过MATLAB编写计算程序是十分有效且快捷的计算工具。

本文根据实际经验，提出了一种更适合广大从业人员而不需掌握复杂的数学知识和计算编程知识就能实践的方法。主要思想就是假想拟合法和通过最小二乘法对三维圆进行拟合转换的方法。对于之后计算方法的改进开拓了新思路，提供了良好的契机。

同时，该思想还能被用于更广泛的情况。比如说不是计算圆平面，而是要选取3个以上的测量点来计算其他平面，这时也可以延续此思路，先拟合再换算。

对该方法的结果误差影响最深刻的便是最开始时测量各边缘时产生的测量误差，因此提高测量误差的精度是亟待解决的重要问题。此处提供一种测量方式：在测量水平误差时，可直接假定对两测点横坐标求平均，以作为中心点的横坐标；在测量中心点高程时，可先在内环边缘选择一测点进行坐标测存，再使用水平制动螺旋，垂直转动望远镜，对另一测点进行测存，那么中心点高程即为这两点高程之平均。选取多组，即可将误差控制在最小的范围内。

六、需改进的地方

本法较其他相关方法而言，减少了计算量和理论难度，能被更多的人所接受，但仍存在一些不足之处。

首先是精确度还不够高，因为本法的思路重点就是假想拟合平面，这就带来了不可避免的误差，如果仪器不够精准或者说计算产生误差，就会让最终的误差不断扩大。

其次是表达不够简洁，虽然在推导过程中，使用矩阵形式来简洁了表达形式，但整体来看，还是颇为繁琐，虽然不影响使用者，但对于其他设计者来说，理解更为艰难。

最后是测量步骤多，为了提高结构质量，必须不厌其烦地产生多组测量点并计算其三维坐标，这就意味着要付出更多的精力和金钱。