初中数学分类讨论思想教学初探

邓兴明

重庆市合川区合阳中学 重庆 合川 401520

分类思想是根据研究对象的本质属性的共同点和差异点，将所研究的问题分为不同种类的思想。在数学中，如果一个命题的题设或结论不唯一确定，有多种可能情况，难以统一解答，就需要按可能出现的各种情况进行分类地加以讨论，最后综合归纳出问题的正确答案，这种解题方法叫做分类讨论法。分类是以比较为基础的，是对问题深入研究的思想方法，它能揭示数学对象之间的内在规律。掌握好分类讨论的思想，有利于发现解题思路和掌握技能技巧；有利于学生总结归纳数学知识，使所学知识条理化；有利于培养学生的创新精神与探索精神，有利于培养学生严谨、求实的科学态度。

初中数学中的分类讨论问题往往是学生不容易掌握好的一类问题，学生碰到此类问题常常是不知道要进行分类讨论或者知道了要分类讨论而无从入手，造成解答此类问题时正确率偏低，原因大多数是没有掌握好初中数学中的分类讨论思想。根据教学实践，我认为解答分类讨论问题时，首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确合理地进行分类，做到标准统一、不漏不重；再对所分类逐步进行讨论，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。下面就引起分类讨论的一些常见情况进行归纳：

一、由于问题涉及到分类讨论思想的有关概念或问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的而需要对其进行分类讨论。

如：绝对值需要分三种情况讨论，也就是:

a ( a﹥0)

|a| = 0 ( a = 0 )

-a ( a﹤0 )

例如： 且 ﹤0，则 。本题需要对绝对值符号内的代数式的正负性进行分类讨论，然后去掉绝对值符号。所以 或 。

又如：一次函数y＝kx+b（k≠0）的增减性，图象所在的象限等需要对k、b符号进行分类讨论。如：一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是 -3≤x≤ 6，相应的函数值的取值范围是-5≤y≤-2 ，则这个函数的解析式 。本题应对K﹥0和K﹤0两种情况分别进行讨论。所以 。

学生只有对初中数学中涉及到分类讨论思想的概念、数学定理、公式和运算性质、法则等有了正确的认识、理解和牢固的掌握，才能在解决有关问题时有分类讨论的意识，有利于培养和发展学生思维的条理性、缜密性，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。

二、由于问题的题设和结论有多种可能情况而需要对其进行分类讨论。

如：若0是关于x的方程 的解，求实数m的值，并讨论此方程解的情况。本题的条件不唯一，该方程是什么方程？问题中没有说明。所以应该分为一次方程或二次方程两种情况进行讨论：首先根据0是方程的解可得：m₁=2，m₂=-4；(1) 当m₁=2时，该方程为一元一次方程，有一个解是0。(2) 当m₂=-4时，该方程为一元二次方程，△=9﹥0，该方程有两个不相等的实数根。

又 如：如图，如果四边形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有____个。本题的题设和结论也是不唯一确定的，显然，符合条件的旋转中心必在边CD上，可以这样分类：(1) 绕点C旋转，有一解；(2) 绕点D旋转，有一解；(3) 绕CD上异于C、D的点旋转，只能是CD的中点。这样就得出了本题的正确答案：有3个。

解此类问题的关键是审清题意。审题是解题的重要一环。教师在讲解例题时，应作出认真审题的示范并要求学生养成认真审题的习惯。只有审清了题意，全面、系统的考虑问题，把握住了问题中的不定因素和不定因素的各种可能情况，就可以确定出分类的框架，分类时也能做到标准一致，条理清楚，解答此类问题就不易造成重复或漏解。

三、由于问题中含有的参变量的不同取值会导致不同结果而需要对其进行分类讨论。

如：已知(m-2)x＜6，求x的取值范围。本题中(m-2)的符号未确定，所以要分类讨论(m-2)的正负问题。所以当(m-2) ＞0时， ；当(m-2)＜ 0时， 。

又如：已知一次函数y=-x+8和反比例函数 ，（1）k满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标平面中的图象有两个交点？（2）设（1）中的两个交点为M、N，试比较∠MON与90°的大小。本题第（1）小题求得k<16且k≠0；在解第（2）小题时，由于090°。

此类问题要使学生能分析清楚问题中参变量在整个量变过程中会造成哪些质的变化，即参变量的不同取值会对问题产生哪些不同结果，把它们一一列出来，全面、系统的分类，并能正确求解。

四、由于问题中几何图形的不确定而需要对其进行分类讨论。

1.与线段有关的问题。

如：线段AB=7cm，在直线AB上画线段BC=3cm，则线段AC=

。本题应分点C在线段AB之间和点C在线段AB的延长线上两种情况讨论。所以AC应为4cm或10cm。

2. 与等腰三角形有关的问题。

如：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角 ° 本题分腰上的高在三角形形内和腰上的高在三角形形外两种情况，所以顶角为45°或135°。

又如：已知平面直角坐标系中有两点A（4，0）、B（0，-3），试在坐标轴上找一点P，使△PAB为等腰三角形。求出P点的坐标。本题中△PAB由于P点位置不确定而没有确定，而且等腰三角形中哪条边是底也没有确定。我们可以按底的可能情况加以分类：

(1)∠A为顶角则AP=AB；以A为圆心以AB为半径画圆可以得到除B以外的三个交点，

(2)∠B为顶角则BA=BP；以B为圆心以BA为半径画圆可以得到除A以外的三个交点,

(3)∠P为顶角则PB=PA；P在AB的垂直平分线上画图可以得到与坐标轴的两个交点。综上所述可以得到坐标轴上符合条件的八个P点

3.与直角三角形有关的问题。

如：在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11,1），点C到直线AB的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有多少个。本题点C的位置和直角均不确定，因此需要分类讨论。当点∠C为直角时，所以C点在以AB为直径的圆上，而此时圆的半径为5，半径大于点C到AB的距离4，所以可以确定4个点；当∠A为直角时，可以确定2个点；当∠B为直角时，可以确定2个点；所以可确定的C点一共有8个。

又如：直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 。本题需要对直角三角形斜边进行分类讨论。所以直径应为5或 。

4.与圆有关的问题。

如：点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系

（1）点M到⊙O的最长距离为5，最短距离为1，则圆的半径为 。本题应分点M在⊙O内和⊙O外两种情况讨论。所以半径应为3或2。

（2）⊙O半径为10cm，弦AB∥CD,AB=12cm CD=16cm,则AB和CD的距离为 cm。本题应分AB与CD在圆心的同侧和异侧两种情况进行分类讨论。所以AB和CD的距离为2 cm或14cm。

（3）相切的两圆半径分别为3cm和2cm，则两圆的圆心距为 cm。本题相切没有说明是外切还是内切，因此要分类讨论。所以圆心距为1cm或5cm。

正确解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧扣条件，分类画出各种符合条件的图形。教学中应注意对学生画图能力和空间想象能力的培养，让学生多操作、多思考，提高学生的数学能力。

总之，分类讨论的思想方法是在数学知识的发生和应用的过程中形成和发展的，它的灵活掌握是需要有个潜移默化的过程，是要在多次理解和反复应用的基础上逐步形成的，它是数学教学中的长期任务。因此，教师要根据初中学生的特点，遵照循序渐近、逐步深化的原则，采用灵活多变和有效的教学手段来实施分类讨论方法的教学；教师要在日常教学中植根于课本，着眼于提高，要善于挖掘各种教学资源中所蕴含的分类讨论的思想方法，不失时机地逐步引导学生建立分类讨论的思想，揭示分类讨论思想的本质，使学生能够自觉合理的运用分类讨论的思想解决相应数学问题，掌握分类讨论数学思想方法，从而提高学生的综合运用能力和良好的思维品质。

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