巧添辅助线，思维现火花

杨 冰

华东师范大学第二附属中学附属初级中学 200241

一、问题背景

在三角形教学中我曾用过下面的作业题，为方便，称为例题1：

例

图1

题1、在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交直线AB于点N，交直线BC于点M，∠A=30°，求∠NMB的大小。

预设解答不需添加辅助线，利用三角形内角和

180度即可得解。

学生甲解答：联结AM，

∵MN是线段AB的垂直平分线，

_∴ ，_{∴，根据三角形}

_{内角和为180°，则}

_{同理，，∴，}

根据等腰三角形三线合一，_∴ ，_∴

_即

联结AM是好手，颇具新意，顿使图形与解法都凸现美感。是妙手偶得还是对对称与和谐的深刻感悟？还是对条件的深刻理解呢？带着这些问题，我与学生进行了交流。

美国学者、著名的学习专家爱德加·戴尔1946年首先发现并提出的学习金字塔理论：

该成果表明：主动学习的学习效果明显高于被动学习，于是与学生交流之后，我准备了一节《基于对称思想的辅助线》习题课。

二、活动安排

教

学步骤：1、展示学生甲的解法，并通过师生课堂交流，让学生甲讲出例题1添加辅助线的想法。2、课堂练习，学生之间互相交流添加辅助线的解法与添线意图。

三、教学片断

师：您是如何想到添加辅助线的?

生：条件中的“垂直平分线”。

师：添线的目的是什么？

生：构造轴对称图形。

师：为什么？

生：轴对称图形的对应边相等；轴对称图形的对应角相等；对应点所连的线段被对称轴垂直平分，这些性质对于转换条件有利。通过联结AM，将BM转换到AM，构造出等腰△MAB，从而找到了△ABC与△MAB的关系，从而找到了∠NMB与∠BAC的关系。

师：添加辅助线的作用：(1) 把分散、远离的几何元素转化为相对集中的几何元素，例如，在三角形问题中，将分散的元素（边、角）集中在一个三角形或两个全等三角形中；(2) 把不规则的图形转化为规则的图形；(3) 把复杂图形转化为简单的基本图形。一般来说：图形中含有“折叠部分”、“角平分线”、“线段的垂直平分线”、“轴对称图形”(如等腰三角形、等边三角形)等条件可以考虑通过运用对称思想添加辅助线，把已知图形的部分或全部补为轴对称图形，再利用轴对称性质，找到解题思路。

四、思路巩固

例 2、如图，已知等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，求证：

1) ∠APO+∠DCO=30°；

2) △OPC是等边三角形；哪些是正确的？

分析：等腰△ABC，底边BC上的垂直平分线是本题中“轴对称”的基本图形，对称轴上的点O，缺少了一条与对应点B、C分别联结的线段OB，联结OB，完善基本图形，找到解题突破口

简证：

1) 如图，联结BO，易知OB=OC，又OP=OC，故OP=OB，

从而∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°。

2) ∠POC =∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB=2∠ABD=60⁰，又OP=OC，

故△OPC是等边三角形.

例

3、已知点P为△ABC内一点，∠BAP=∠CAP=22⁰,∠PBA=8⁰,∠PBC=30⁰,求∠APC

分析：由于DA平分∠BAC，可考虑构造轴对称图形。事实上，将CA沿AD翻折，或将BA沿DA翻折均可。

简解：在AB上截取AE=AC，联结PE、DE，则△APE≌△APC，注意到∠PDC=∠PDE=∠BDE=60⁰，且∠PBD=∠BPD=30⁰，所以DE垂直平分BP，于是BE=EP，故∠ACP=∠AEP=∠EBP+∠EPB=8⁰+8⁰=16⁰，从而∠APC=142⁰.

五、思路突破

例 3、在等边△ABC内取一点D，使DA=DB，在△ABC外取一点E，使∠DBE=∠DBC，且BE=BA，求∠BED.

分析：题图中有两个“轴对称”的基本图形：

1. 等边△ABC，以及AD=BD，则可以看作是以CD为对称轴的轴对称图形；

2. ∠DBE=∠DBC，BE=BA，可以看作是关于BD的“轴对称”型全等，对于对称轴点上的点D，缺少了一条与对应点C、E的连线CD。

这两个“轴对称”基本图形，都指向了联结CD，完善基本图形，找到解题突破口

简解：

如图，联结CD，易知CD是AB的垂直平分线，从而∠ACD=∠BCD=

又不难证明△BED≌△BCD（S.A.S），故∠BED=∠BCD=30°.

例

图3

4、已知三角形ABC中，AB=AC，

∠BAC=120⁰，点D在三角形的内部，

且∠DAC=∠DCA=20⁰，求∠ABD的度数。

分析：

解：如图，作∠BEA=∠EAB=20⁰，

联

结DE，易知△ADE为正三角形，

于是BE=ED=DC，又∠BED=360⁰-60⁰-140⁰

=160⁰，所以∠EBD=10⁰，

从而∠ABD=∠ABE+∠EBD=20⁰+10⁰=30⁰.

_{六、课后作业}

1、如图，在△ABC中，D、E分别是边AB和AC上的点，将这个△ABC纸片沿DE折叠，点A落在点F的位置，如果DF//BC，∠B=60°，∠CEF=20°，那么∠A的度数为_______

2 、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线相交于点O，将△ABC沿EF翻折（点E在BC上，点F在AC上），点C与点O恰好重合，求∠OEC的度数.

3

、如图， 是 的内心，且 ．若 ，求 和 的大小．

_{七、反思与感受}

_{几何学习中，辅助线的选择与巧妙添加可以提高解题与思维的效率，把握问题的本质规律。}

_{辅助线原本是图形中的“隐”线，这种线有时隐藏的比较巧妙，不易被发现。添加辅助线的目的，就是把这种“隐”线“显”现出来。几何辅助线的添加方法没有固定的模式可以套用，但通过几道题目的分析，我们所遇到的常规问题中，辅助线的添加还是具有一定的规律性以及必然性的。期待在以后几何的学习中，回归基本图形，巧妙添加辅助线，搭建有效的桥梁。}