新型冠状病毒传播模型研究

王卓琳

衡水第一中学

摘要：新型冠状病毒肺炎(以下简称新冠肺炎)已在全球爆发并迅速蔓延，每日确诊病例呈指数型增长趋势，对人类社会产生严重影响，对新冠肺炎传播机制的研究已成为全球迫切关注的问题。本文从传染病SIR数学模型着手，建立对疫情预测和控制的数学模型，从而更加精确地刻画出新冠肺炎的发展和传播规律，对模型参数进行合理估计，并用MATLAB仿真预测。研究结果表明持续的管控措施对控制疫情的快速传播起到重要作用，进而为控制疫情争取更多的时间。最后，用某地区实际数据验证了该数学模型与疫情发展规律符合，为定量研究这类疾病提供了简明实用的定量分析方法，具有一定的现实意义。

关键词：数学模型；新冠肺炎传播；SIR模型

1、前言

新冠疫情仍在全球持续蔓延，并有不断加剧的趋势，严重威胁人类安全，冲击全球经济发展。新冠肺炎在国内爆发后，政府迅速采取全方位防控和治疗措施，历尽数月终于在场疫情阻击战中取得阶段性胜利，作为人类命运共同体的一员积极主动向全球分享抗疫经验和成果。在全球疫情形势不断恶化下，世界卫生组织呼吁各国加强一切预防和管控措施，有效的防控措施将对疫情发展产生怎样的影响？本文将分阶段建立模型，分析预防控制措施对疫情走势的影响，以便为全球后续疫情控制提供理论依据。

2、SIR模型简介

SIR是一种基于舱室的数学模型，该模型将人口结构划分为了三种状态，三种状态可以用下面的数学公式进行表示：易感染人群S(t)表示，代表在任意时刻没有患上传染病，但是有很大可能患上传染病的人群数量感染者人群。感染人群I(t)进行表示，代表在任意时刻患上传染病的人群数量。退出人群R(t)进行表示，代表在任意时刻从感染者人群中移出的人数。

SIR数学模型在对传染病进行分析时，是具有先决条件的，首先，SIR模型考虑人口的出生和死亡，这两者能对人口的数量造成影响，但是影响十分小。其次，SIR模型假设易感染人群和感染者人群具有一定的流动性，易感染者人群会以某个因子向感染着人群进行迁移。最后，SIR模型假设感染者人群会以固定的比例系数进入移出者人群，并且状态不可逆。所以根据如上所示的假设，可以得到下面的SIR模型状态迁移图：

2.1模型的建立与求解

借鉴经典的SIR模型，对封城后武汉市新冠肺炎疫情传播进行分析和预测，可将人员分易感人群(S)、感染人群(I)和退出人群(R)，其中退出人群包括为康复人群和死亡人群，

给出了SIR模型的状态迁移，使用bSI表示易感染者人群向感染者人群的人口迁移数量，gI表示感染者人群向移出者人群的人口迁移数量。通过对状态迁移分析，可以得到如下所示的SIR数学模型：

（1）

（2）

（3）

2.2基于sir模型的流行病预测实现

采用SIR模型来对新冠肺炎进行预测是因为该传染病的传播规律符合SIR模型的对人口结构的假设：易感染人群和感染人群的人口数量迁移是不可逆的。通过对上面的分析，可以得到新冠肺炎具有如下所示的数学模型：

= （4）

（2）（5）

（6）

I(0)=I₀，S(0)=S₀（7）

上式中的表示感染人群和易感染人群的接触因子，L表示感染人群的治愈率，而D则表示感染人群的死亡率。由于我国的新冠肺炎起初主要集中出现在武汉地区，其他地区的病情并不严重，所以本文采用武汉地区的感染人群来对模型进行测试。上述给出的数学模型中，对于参数L具有如下所示的关系：

L= （8）

病人的治愈率是一个动态变化的数据，需要根据每天的治愈数量与病人数量进行求解。对于参数D，具有如下所示的关系：

D= （9）

病人的死亡率与病人的治愈率关系类似，可以通过每天的死亡人数与总体死亡人数进行求解。

3、实验分析

为了方便对模型的求解，本文对病人的发展曲线进行了拟合，蓝色曲线为对应的拟合曲线。从图中可以看出，L≈0.045，D≈0.008，I₀≈0.489，S₀≈0.415，λ≈2。

图 1 SIR数值变化曲线

图 2 数据拟合测试结果

从上表可以看出，I(t)从初始值到达第四天的时候，到达峰值，而S(t)则处于单调递减的状态。仿真结果表明，这种现象符合新冠肺炎的传播规律，从新冠肺炎开始爆发到逐渐平稳的过程大概经历了两个月的周期。

本文预测到新冠肺炎在武汉地区经过两个多月的防控后，疫情状况逐渐趋于稳定，这是由1月底，全国已严格实施管控措施，人们对新冠疫情的防范认识逐渐提高，有症状的患者积极配合治疗或者进行居家隔离，密切接触者减少，故曲线呈现下降趋势。随着时间推移，患病者被逐步全部隔离，有疑似症状者的数量也逐渐减少，后趋于稳定。整体来说模型预测曲线与实际发展相吻合。

4、结论

SIR是一种有效的传染病模拟模型，通过将人口结构划分为易感染人群、感染人群和移出人群来对传染病的传播规律进行简化，可以得到比较准确的传染病传播规律。考虑到SIR模型的这一优势，本文利用SIR模型来对武汉地区的新冠肺炎发展规律进行了数学模拟，模拟结果表明，本文的测试结果与实际的疫情发展规律比较符合，也验证了：

1)政府采取的居家隔离、封城、公共领域限制等一系列持续地严防严控举措对减缓疫情传播速度起到非常显著的作用，进而降低疫情传播规模，且越早隔离越有助于控制疫情发展趋势，为控制疫情发展争取到更多主动权。

2)对疑似感染者集中快速隔离和诊断是疫情防控中的重要环节，每日新增确诊病例中很大比例由疑似感染者转化而来，可知强制隔离观察和快速诊断措施可缩减疫情扩散区域，阻碍疫情多点散花似扩散。

参考文献：

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