协助警察办案问题研究

曹露丹 邢妮

山东协和学院 山东济南 邮编 250200

摘要：死亡时间的推断是法医学研究的重要课题之一。死亡时间可以通过尸体温度、尸斑、尸僵、眼部变化、血液肌肉超生反应等进行推断。但目前应用最广泛和最可靠的方法仍然是尸体温度推算法，尤其是死亡时间在24h内的尸体。我们通过建立数学模型运用matlab绘图和求解微分方程和极限的方法，从而来确定案发时间，可以为警察提供办案的重要线索。

关键字： 微分方程；极限；matlab绘图；非线性关系

引言：随着社会的进步，人们的欲望也越来越大，对于那些得不到的东西，一些不法分子便通过非法手段来获取，这导致他杀、谋杀率直线上升。为了尽快破案抓住不法分子，确定死亡时间是十分重要的。

一、具体问题

当今社会，随着生活压力的加大，致使有些人心理扭曲，使他们产生了谋杀的动机。谋杀发生后，由于人类是恒温动物，当机体生命活动终止后体温也由原来的37摄氏度按牛顿冷却定律在物体表面与周围环境的温差不大的情况下开始下降。为了使问题更清晰，所以假设尸体所在的环境温度一直保持在20摄氏度，并假定尸体在正常情况下两小时后尸温为35摄氏度。为了协助警察办案我们建立了数学模型解决一下问题：

通过上述假设可求出从谋杀发生后尸温H是怎样作为时间t（h）的函数随时间变化的。利用上一问题求出的函数，请画出温度关于时间的曲线。可利用图像和代数这两种方法来确定最终尸温的结果。在这里我们假设，当下午4点发现了尸体，其尸温为30摄氏度，利用函数关系式确定谋杀发生的时间。

二、问题分析

2.1 由题目假定四周温度为20摄氏度不变，尸体温度按照牛顿冷却定律按一定速率降低，所以我们使用微分方程建立数学模型，通过求解微分方程的方法探求死亡后尸温与时间的关系。由牛顿冷却定律可知，尸温与时间的变化关系并不是简单的线性关系，而是随着时间的增加温度下降的越慢。

死亡后一段时间内的精确图像可由matlab绘图得到，经过matlab的计算可知在死亡时间超过96个小时后，尸体温度几乎完全冷却至外界温度。

2.2 利用尸温计算死亡时间的方法

（一）牛顿冷却(加热)定律:牛顿冷却(加热)定律是指在物体表面与周围环境的温差不大的情况下，将温度为T的物体放入处于常温m的介质中,T的变化速率正比于T与周围介质的温度差。首先,可以认为人死亡后可被视为一般物体,它直接与周围环境接触,与周围环境间进行能量的交换。当环境温度低于体温时,体表热量以辐射和传导方式散失;体内的热能则先向体表传导，然后从体表散失.，最后尸温降到与环境温度相同。其次,周围环境温度应处于恒定不变或变化极小可以忽略不计。室温条件下较适合此方法使用。当受害者死亡后,可将其视为没有生命物体,而此时的住宅内的空气被视为是包围尸体的介质，物假定尸体表面与周围环境的温差不大。因而由牛顿冷却定律可以得出尸体体温的变化与体温与室温的温差成正比。由于人的个体相对于住宅来说是很小的,因而可以认为其温度的减少,即能量的减少并不能引起室温的明显变化.因而可以认定室温恒定不变。但是要考虑不同尸体差异对尸体温度散失影响，例如死者的年龄、体重、身体状况.死亡原因等。

（二）经有关人员对我国八省市581例1~80岁非正常死亡的男女尸体进行尸温测试观察,于死后24小时内,尸温下降呈降段性。死后4-5小时内,尸体直肠温度下降较慢。死后5~16小时为第二阶段,尸体直肠温较大幅度下降。死后16小时以后为第3阶段,尸体直肠温的下降速度又明显减慢。利用尸温下降速度推测死亡时间,各学者采用计算公式不同,所考虑的影响因素和计算方法也有较大差异。
2.3 布尔曼公式:死亡时间=36.9℃-直肠温度+0.899(计算采用数据多数是从腋下测得的温度)。
2.4 我国刑警学院编著的《法医学》介绍了以下利用尸温推算死亡时间的方法,此法考虑四季气温变化,考虑了尸体温度在不同的时间段下降率的快慢;同时考虑到了肥胖和消瘦对尸温下降速度的影响。以春秋时节为准,夏季尸温下降率较春秋时节慢1.4倍,冬季快0.7倍;在死亡前10个小时,尸温每小时下降平均1℃,10小时以后，平均每小时下降0.5℃。肥胖尸体在死后前10个小时,尸温每小时下降0.75℃,消瘦尸体每小时下降1℃。
2.5 TDIE法:采用TDIE法,仅需要间隔1小时测量两次尸体直肠温度,查阅和应用参考曲线按T=-F AG公式,计算死亡时间。此法推断死亡时间,需取得3个数值。

三、问题假设

1.四周通风状况始终良好。

2.尸体包裹物对尸温无影响。

3.停尸物的导热性良好。

4.尸体生前身体状况良好。

四、符号说明

k	牛顿冷却定律中的比例系数（>0）
C	微分方程通解中的常数
t0	尸体被发现的时间
t	死亡后时间的变化（以小时为单位）

五、解决问题

由题意得如下微分方程：

，其中H（0）=37，H（2）=35。

5.1 问题1：

该微分方程可以用分离变量的方法解得通解，即 。通过凑微分的方式可以解得通解为： 。又H（0）=37，H（2）=35可得：

C=17 ，k=

所以尸体温度与时间的关系式为：

H=20+17e^t （t>0）

5.2 问题2：

选取0到120小时内作图， 将H对t求一阶导数可得：

17 e^t <0

即H（t）关于时间t单调递减。

将H对t求二阶导数可得：

17（ ）2e^t >0

即H（t）是凹曲线。当t->+∞时对H求极限得极限为20。

5.3 问题3：

最终尸体温度为20℃。用代数表示为： 解得极限为20。

5.4 问题4：

设谋杀时间对应时间t的值为0；

由题意可知：H（t0）=30；

可以解得：t0==8.48；

所以谋杀时间为：早上七点五十二分。

六、优缺点分析

1、优点：

我们这里使用牛顿冷却定律并采用微分的思想建立微分方程的方法，进而获得尸体温度和时间之间较为具体的数学关系；

实现微分方程与建模思想的有机结合能够把理论由知识型向能力型转化，利用微分方程建立数学模型解决实际问题会使结果相当简单而且能给出较为合理的解释。

2、缺点：

该方法可能会忽略掉较多可以影响尸体温度的因素。在自然环境下尸体周围温度越低、通风越好就促进尸体温度的下降。相反环境温度高、通风不好则抑制尸体温度下降。还有人为因素的影响,尸体包裹物少、停尸物的导热性好可促进尸温下降,反之同理。此外,还应综合考虑尸体本身因素，体型较瘦及小儿老人尸温下降较快，疾病对尸温也有影响。

所以使用微分方程的方法只能粗略的推算出死亡的大概时间。

[参考文献]

[1]王宗伟，尸温测量在死亡推断中的应用，https://www.doc88.com/p-6137677167008.html，2020年5月15日。

[2]王琼，郎博娟，孟祥志，尸温与死亡时间关系的研究,http://www.doc88.com/p-6919852064376.html，2020年5月15日。

作者简介：

曹露丹，女，汉，山东省潍坊市，1999.11，本科，学生。

邢 妮，女，汉，山东省莱阳市，1978.03，研究生，应用数学。

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