行列式性质及其应用

骆旗

广州工商学院基础教学部 广东 佛山 528138

摘要：在高等院校的基础课线性代数中，行列式的概念与性质以及计算，在线性代数这门课程中占有非常重要的地位，其中行列式性质是首先必须要掌握的重要理论，因为它是计算行列式的关键，如何灵活运用行列式的性质，巧妙而简洁地计算出行列式的值是学习线性代数的难点之一．本文简述行列式的概念与性质，着重介绍如何灵活运用行列式的性质，巧妙而简洁地计算行列式。

关键词：行列式性质；线性代数； 行列式的计算

1. 行列式的概念

定义： 称为 阶行列式 。其中，等式右端的 表示对所有的 级排列 求和. 称为

阶行列式的一般项. 阶行列式有时也简记为det 或 .

注: (1) 阶行列式 是 项的代数和, 且冠以正号的项和冠以负号的项(不算元素本身所带的符号)各占一半;

(2) 的符号为 (不算元素本身所带的符号);

(3) 特别，一阶行列式 务必不要与绝对值记号相混淆.

（4）根据定义求 阶行列式，显然十分麻烦，但对于低阶（一般 ）行列式或零元较多的 阶行列式，根据定义计算有时还是较方便的。比如上三角形的 阶行列式的值就等于主对角线元素的乘积。

二、行列式的性质

我们将学习的行列式的性质简单的归纳如下：

性质1（转置）行列式与它的转置行列式相等，即 ．

注：这个性质告诉我们，行列式的行与列处在相同的地位，即对于行列式的行成立的性质，对行列式的列也成立。这样，下面我们一般只讨论对行列式的行成立的性质

性质2（零值）( 1) 若行列式中有一行元素全为零(简称为零行)，则行列式的值为零;

( 2) 若行列式中有两行对应元素相同，则行列式为零;( 3) 若行列式中有两行对应元素成比例，则行列式为零．

注：性质2简称为零值性质，它告诉我们，如果行列式有零行，则值为零。如果有两行相同，或成比例，则值为零。

性质3：（初等变换）( 1)（互换）交换行列式的两行，行列式的值变号；( 2)（提取）行列式某一行的公因子可以提到行列式的外面，即将行列式的某行所有元素都乘以常数k，等于将k乘以该行列式;( 3)（倍加）将行列式某一行的倍数加到另一行上去，行列式的值不变．

注：因为性质3的互换、提取、倍加三条类似于矩阵的初等变换，所以，我们称之为行列式的初等变换性质。它是计算行列式最常用的性质之一。

性质4（拆开）若行列式某一行元素都是两数之和，则此行列式就等于两个行列式的和．

注：行列式按某一行拆开后，往往可以简化计算。一般来说，拆成的两个行列式中，一个计算比较简单，另一个可以找出递推关系。

性质5（展开）( 1)行列式按行展开： ；( 2) 行列式按某 行展开：

上述行列式的性质可以简单的这样来记：转置、零值为基本，展开、拆开是办法，初等变换最常见。

三、行列式性质的应用

1. 计算行列式的转置、零值法

我们知道上三角行列式等于主对角线上元素的乘积，利用行列式与转置行列式相等，可得，下三角行列式也等于主对角线上元素的乘积。另外，如果在行列式的计算中，能推出某行（列）为零行（列），或者某两行元素成比例（或者相同），则行列式的值为零。

2.计算行列式的初等变换法：我们已经熟知上( 下) 三角形行列式的结果，因此，计算行列式时，常利用行列式的性质，尤其是行列式的初等变换这个性质，根据所求行列式的特点， 通常运用(1)选主元（行列式的某一列不为零的元素，最好是1，或者是最小公倍数）、(2)做交换、（3）消元、（4）重复四步，把所给行列式化为上( 下) 三角形行列式，此时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值，这种方法称为“初等变换法”，也称为“化三角形法”．它是计算行列式最常用的一种方法》

例1. 计算4阶行列式

解：（1）选主元：在 的第一列选，显然主元为 ；（2）做交换：将第二行与第一行元素互换得到 ;(3)消元：将主元（这时主元变为 ）下面的元素2，1，1，利用行列式的初等变换性质3均化为0得到 ；

（4）重复：抛弃 的第一行，第一列，对剩下的元素组成的三节行列式重复前三步，即可得到上三角形行列式，从而求出此行列式的值。即

。

注：计算行列式时，切记要依据所给行列式的结构与特点，灵活运用初等变换法，比如：

例2. 计算n阶行列式

解：方法一 根据所给行列式的结果特征，可见除对角线元素为 外，其余元素都是 ，从而可知 的每一行（列）的元素之和都等于 ，因此，可把 的各列都加到第一列上去，得到

方法二 根据所给行列式的结果特征，可将 的第 行都加到第一行的对应元素上去，得到简形行列式，进而可得所求行列式 的值。即

3. 计算行列式的展开、拆开法：

如果行列式中某行（列）有较多个0元素时，可以按该行（列）中展开行列式，或利用拉普拉斯定理展开。从而得到低一阶的行列式，或更加简单的行列式。此外，将按行展开定理与其它行列式的性质结合起来灵活运用，计算将会变得更加简单。

根据行列式的结构特点，有时需要把某一行(列)的元素写成两数和的形式，再利用行列式性质将原行列式拆成两个行列式的和，从而，使问题得到简化，以利于计算。

例3．计算4阶行列式

解：方法一 将行列式按第1列展开得

方法二 将按行展开定理与行列式的性质结合起来运用，计算将会变得更加简单

方法三 利用拉普拉斯定理，将行列式按第2行与第4行展开得到

如果行列式中有“大片”位置上得元素为零，也即当非零得k阶子式个数较少时，利用拉普拉斯定理，一般情况下，可以较快的降低行列式的阶数，进而容易求得行列式的值。

例4. 计算5阶行列式

解：利用拉普拉斯定理，将行列式 按第3，4，5行展开，则由3，4，5行可以得到三阶子式 共有 个，而其中每一个三阶子式 中，至少有一列元素为0，因此，

，所以， 。

由于篇幅所限，至于其他方面的应用问题，此处不再赘述，大家可参阅相关文献和书籍．

参考文献;

[1] 白忠玉.线性代数中行列式性质的讲法[J].数学学习与研究.2019（12）

[2] 吴晓庆.关丰宇.行列式的相关性质与应用[J].数学学习与研究（教研版）.2011(3)：[3] 代东岩.n阶行列式的计算方法和技巧[J].哈尔滨职业技术学院学报.2008(1）

[4]李乃华、赵芬霞、赵俊英、李景焕.线性代数及其应用:第二版.[M].北京:高等教育出版社2012(2)