线性方程的解法及应用研究

石皓中

衡水第一中学 河北省衡水市 053000

摘要：线性方程组的求解方法在代数学中有着极其重要的作用，本文介绍了有关线性方程组的一些基本求解方法，可以加深对线性方程组的求解方法的理解。在应用方面，本文主要介绍了关于投入产出的数学模型。

关键词：线性方程；解法；应用

线性方程也称一次方程式，指未知数都是一次的方程。其一般的形式是ax+by+……+cz+d=0。线性方程的本质是等式两边乘以任何相同的非零数，方程的本质都不受影响。因为在笛卡尔坐标系上任何一个一次方程的表示都是一条直线。组成一次方程的每个项必须是常数或者是一个常数和一个变量的乘积。且方程中必须包含一个变量，因为如果没有变量只有常数的式子是代数式而非方程式。

线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组（例如二元一次方程组）。对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早1500年，记载在公元初《九章算术》方程章中。线性方程组有广泛应用，熟知的线性规划问题即讨论对解有一定约束条件的线性方程组问题。

1.线性方程的解法

（1）克莱姆法则

用克莱姆法则求解方程组有两个前提，一是方程的个数要等于未知量的个数，二是系数矩阵的行列式不等于零。用克莱姆法则求解方程组实际上相当于用逆矩阵的方法求解线性方程组，它建立线性方程组的解与其系数和常数间的关系，但由于求解时要计算n+1个n阶行列式，其工作量常常很大，所以克莱姆法则常用于理论证明，很少用于具体求解。

（2）矩阵消元法

将线性方程组的增广矩阵通过行的初等变换化为行简化阶梯形矩阵，则以行简化阶梯形矩阵为增广矩阵的线性方程组与原方程组同解。当方程组有解时，将其中单位列向量对应的未知量取为非自由未知量，其余的未知量取为自由未知量，即可找出线性方程组的解。

关于未知量是一次的方程组，其一般形式为：

……

2.线性方程的应用

投入产出数学模型是通过编制投入产出表，运用线性方程工具建立数学模型，从而揭示国民经济各部门、再生产各环节之间的内在联系，并据此进行经济分析、预测和安排预算计划。按计量单位不同，该模型可分为价值型和实物型。

（1）功能

它以数学形式表达投入产出表所体现的国民经济各部门生产与分配使用之间的平衡关系，或国民经济各部门生产与各种消耗之间的平衡关系。建立投入产出数学模型后，可以通过电子计算机的运算，揭示国民经济各部门、社会再生产各环节间的内在联系。

投入产出法来源于一个经济系统各部门生产和消耗的实际统计资料。它同时描述了当时各部门之间的投入与产出协调关系，反映了产品供应与需求的平衡关系，因而在实际中有广泛应用。在经济分析方面可以用于结构分析，还可以用于编制经济计划和进行经济调整等。编制计划的一种做法是先规定各部门计划期的总产量，然后计算出各部门的最终需求；另一种做法是确定计划期各部门的最终需求，然后再计算出各部门的总产出。后一种做法符合以社会需求决定社会产品的原则，同时也有利于调整各部门产品的结构比例，是一种较合理的做法。投入产出技术不仅是一种建模分析的有力工具，其所依赖的投入产出表还是国民经济核算体系的重要延伸部分，可以详细而清晰地记录国民经济各部门间的投入产出关系。

（2）分类

①按行建立的分配方程或产出方程组模型：

由第I象限和第II象限（参见投入产出表）的各行组成一个方程，反映各部门生产的总产品的分配使用情况，平衡关系是：

中间产品+最终产品=总产品

②按列建立的生产方程组或投入方程组模型：

由第I象限和第III象限各列组成一个方程，反映总产品价值的形成过程，平衡关系是：

物质消耗转移价值+新创造价值=总产值

分配方程组模型对价值型和实物型表都适用，而生产方程组仅对价值型表适用。

（3）投入产出数学数值

消耗部门产品的价值量也称中间使用的价值量，生产部门的价值量也称中间投入的价值量，新创造价值也称增加值。

第Ⅰ象限：行方向表明某部门生产的产品分配给各部门使用的价值量，也称中间产品或中间使用；列方向表明某部门在生产过程中消耗各部门的产品的价值量，也称为中间投入或中间消耗。

第Ⅱ象限：由各部门和各行与最终产品的各列交叉而成，反映了最终产品的构成。

第Ⅲ象限：由新创造价值的各行与各部门的各列交叉而成，反映了收入的初次分配情况。

第Ⅳ象限：由新创造价值的各行与最终产品的各列交叉而成，反映收入再次分配情况，一般空出不用。

由第Ⅰ象限和第Ⅱ象限的各行组成一个方程，反映各部门生产的总产品的分配使用去向。平衡关系是：

中间产品+最终产品=总产出

图 1 价值型投入产出表

另外，需要考虑到不同地区的投入产出消耗结构差别很大,目前国内外相关研究大多是对投入产出系数的时序变动进行描述统计分析,还缺乏时序横截面角度的系统研究,而针对其区域差异的影响因素研究更是匮乏。读者后续可在对投入产出系数的区域差异进行描述统计分析的基础上,选取投入产出系数散点图分布相对比较正常且列部门所属行业为工业的投入产出系数,考虑规模、技术特征、所有制结构和子部门结构这四个维度的影响因素,基于微观数据对投入产出系数区域差异进行影响因素回归建模。

3.结论

投入产出分析法是研究经济体系中各个部门间投入与产出的相互依存关系的数量分析法。文章利用地区投入产出表和建立相应的线性方程组,构成一个模拟现实的经济结构与社会产品再生产过程的经济数学模型。

参考文献：

[1]李松龄.关于投入产出系数确定法的一点商榷意见[J].技术经济.1983年01期.

[2]王应明.应用对数最小二乘方法修正投入产出系数[J].科技通报.1994年01期.

[3]刘国志，何鹏清.投入产出系数修正方法[J].石油化工高等学校学报.1995年03期.

[4]何先平，罗伯勋.投入产出系数对某些经济指标的影响[J].江汉石油学院学报.1997年03期.