触发学生燃点，捕捉精彩生成——以“平面向量复习课”为例

范亚萍 章郭

浙江省桐庐分水高级中学，邮编 311519

摘要：本文通过“顺用一题多解，发散学生思维，在对比中寻求广度；善用一题多变，关注问题本质，在变化中挖掘深度；巧用图形结构，渗透数学思想，在构建中凸显信度”三个角度以“平面向量复习课”为例来阐述如何在课堂教学中触发学生思维的燃点，使课堂内外的生成性思维产物更精彩。

关键词：触发燃点 捕捉生成 平面向量

一、问题的提出

《普通高中数学课程标准》明确指出：“数学课堂教学应倡导积极主动、勇于探索的学习方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的‘再创造’过程，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。”高三的数学课堂，以复习课为主，学生已有对知识的宏观了解，但认识不深，不够系统化，而我们有些教师在上课过程中，急于分析问题，学生的学习往往处于一种被动的状态，课堂预设性很浓。更多的教师为了赶复习进度，舍不得花时间让学生对一个问题进行多角度、多层次、全方位的深入思考，而这恰恰是学生最需要的，这就使得学生失去了一次又一次“发现与再创造”的机会，长此以往，不利于学生思维与能力的发展。

二、问题的意义

学生是最宝贵的课程资源，他们有自己的经验、知识、思想与情感，是学习的主人。我们只要在教学中能充分挖掘和利用这些资源，就会演绎出意想不到的精彩来。^[1]在高三“平面向量”复习课堂教学中，教师通过典型例题的呈现，应力求给学生提供足够的学习探究时间和空间，让学生自主发现、提炼，通过交流，形成自己的观点，并能自觉运用相关知识解决有关问题。在这个过程中，教师一旦点燃学生的思维火花，必将引领学生走向思维的纵深，攀登思维的高峰，为生成性课堂创造必要的先决条件，对培养学生的思维能力具有重要意义。

三、问题的解决

（一）顺用一题多解，发散学生思维，在对比中寻求广度。

数学是一个有机的整体，它的各部分之间有着紧密的联系，这种联系可使同一问题，由于思考的角度不同，往往得到不同的解题方法。教学中，教师若能抓住一切有利机会，当学生思维活跃时，趁热打铁，“顺”着学生的思路，引导学生不依常规，全方位、多角度地思考问题，进行一题多解教学，不仅有利于知识的纵横联系与沟通，更有利于拓广思维，培养思维的广阔性。

1.利用典型例题进行一题多解教学。

新 课程标准要求，学生应尝试从不同角度思考问题，即学生的思维活动不局限于单一角度，不受一种思路的束缚。高三复习课教学中，对于许多典型例题，其解法多样，我们要充分挖掘其功效，因为一题多解能最大限度地挖掘学生潜在的能力。当学生的思维被点燃后，他会带着这个问题从课内一直延续到课后。抓典型，在典型例题中深究，捕捉不一样的精彩！

案例1：如图，单位向量 与 的夹角为 ，点 是以 为圆心的圆弧 上一动点，设 （ ， ），求 的最大值．

这是一道综合性较强的试题，备课时笔者本想凸显坐标法的优越性，将问题转化为三角函数的最值问题求解，不料两个学生提出能否将“ ”平方处理？顺着学生的思路，利用基本不等式也给出了问题的解答。笔者告诉学生本题不止这两种解法时，学生很兴奋，整个课堂始终处于一种积极状态，课后许多学生仍在探究。最后，学生想到了解决此题的11种方法，现呈现如下：

法1：由题意，

从而

∴ ，当且仅当 时，即 为圆弧 的中点时取等号．

法2：以点 为坐标原点，向量 所在直线为 轴建立直角坐标系，则点 ， ，设 （ ），则 ，由 可得 ，解得

∴ ，当 时， 有最大值2．

法3：在解法2中得到 后消去参数 可得 ，以下同解法1．

法4：在法2中得到 、 坐标后，则 ，

两边平方得到 ，化简整理得 ，以下同解法1．

法5：

两式相加，得 ，设 为圆弧 的中点，则

，即 ，显然当点 与点 重合时， 最大，亦即当点 为圆弧 的中点时， 有最大值2．

法6：

设 （ ），则

∴ ，

当 时， 有最大值2．

法7：如图，将向量 沿向量 和 方向上分解，得到平行四边形 ，则

， ，在 中， ， ，令 ，

则由正弦定理可得 ，

从而

显然当 时，即当点 为圆弧 的中点时， 有最大值2．

法8：法7中，在 中利用余弦定理 可得 ，以下同解法1．

法9：在平行四边形 中，利用极化恒等式

可得 ，

即 ，化简整理即得 ，以下同解法1．

法 10：在平行四边形 中，利用平行四边形的性质（平行四边形中两条对角线的平方和等于四条边的平方和）可得 ，化简整理即得 ，以下同解法1．

法11：连接 交 于点 ，设 ，则

， ，∴

三点共线，∴ ，∴ ，

易知当 时，即点 为 的中点时， 有最小值 ， 有最大值2．

虽然学生的一个不经意提问打断了原有的教学计划，但这让整堂课因此大放异彩。上述研究成果，全部来自于学生思考所得，笔者只是进行了整理。当学生沉浸在解题的乐趣中时，他们所表现出的激情是无法想象的。通过一题多解的训练，学生对知识点进行多角度梳理分析，使学生对这个问题看得更全面。不一样的旅程，不一样的风景，换个思维也许更精彩！

2.重视基础题，多样方法也能彰显精彩。

在我们的高三复习课中，试题的编排一般遵循由易到难，对于基础题，由于试题简单，我们常常是一带而过，而把重心放在难题的研究上。其实，有些基础题蕴含着丰富的数学思维，学生若能洞觉，何不放手让学生进行探究呢？没有基础知识，就没有创新思维的培养，更没有精彩生成的呈现。夯实基础，在基础题上下足功夫，领略意外的精彩！

案例2：已知向量 ，向量 ，求 的最值．

这是一道平面向量以坐标为载体，与三角函数相结合的常规题，虽有一定的综合性，但难度不大。因课堂上一个学生提出了下述解法3，这极大地触发了学生思维的燃点，并由此引发了课堂的一场“风波”，以下是学生给出的5种解法。

法1：由题， ，

∴ ，∴当 时， ，

当 时， ．

法2：由题， ， ，∴

，以下同解法1．

法3：由题， ， ，∴

（其中 是向量 与 的夹角），

当 时（即向量 与 方向相反）， ，

当 时（即向量 与 方向相同）， ．

法4：由题， ， ，根据向量的三角不等式 可得

．当向量 与 方向相反时， 有最大值3；

当向量 与 方向相同时， 有最小值1．

法 5：问题转化为圆 上任意一点 与该圆外一定点 之间的距离的最值问题．即设 ， ，则 ，由图可知点 运动到 时， 的值最小，结果为1，点 运动到 时， 的值最大，结果为3.

教学的过程是教师、学生、教学资源、教材内容相互作用、相互影响的过程。案例2的后3种解法，笔者在备课过程中并没有考虑，仅仅因为触发了学生的思维燃点，产生了意想不到的效果。如果说法1和法2是微观的解法，那么法3和法4便是宏观的解法，法5借助图形，研究其几何意义，是一种直观的解法。通过这个恰到好处的基础题，充分发挥学生学习的自主性，激发学生通过一定的探索、研究去深入了解和认识数学对象的本质。

感悟：教育家苏霍姆林斯基曾说：“教育的技巧并不在于能预见到课堂的所有细节，而在于根据当时的具体情况，巧妙地在学生不知不觉中作出相应的变动。”一题多解教学中，教师不能过于急躁，要能沉得住气，多些等待，让学生有充足的时间和空间去思考、讨论、争辩，获得展示个性的机会，不但激活了知识，也激活了学生探究的欲望。学生的能力不是教师教出来的，主要靠学生去思考、去实践，在思考和实践中悟出来的。

（二）善用一题多变，关注问题本质，在变化中挖掘深度。

题组加变式是高三数学复习课的一种行之有效的模式，在该模式下，能对一个较简单的问题不断地变换各种条件，由浅入深，循序渐进，使原问题变“活”，发散学生的思维。在这个过程中，学生一旦进入角色，往往也能给人以意想不到的收获。利用一题多变，对知识点进行多目标的拓展延伸，通过几个变式题的比较与分析，在变中寻找不变，在延伸中寻找共性，在比较中寻找差异。

1.在变式题中体现不同解法的差异。

一题多解和一题多变是相辅相成的两种教学方式，两者并不孤立，常常交融在一起。在一题多变中对于某个问题，我们可以采取一题多解的方式进行，在“变化”中体现不同解法的差异性，或者某种解法的优越性。笔者曾在全县的高中数学优质课评比中上了一节有关该方面的课，受到了同行教师的一致好评，现简单呈现教学过程如下：

案 例3：课题《平面向量的数量积复习课》

试题呈现：如图，已知正方形 的边长为2， 为 的中点，求 的值.（用尽可能多的方法）

学生先行：学生独立思考大约6分钟，教师巡视。

交流呈现：教师请4位同学上黑板将他们的思维产物呈现在黑板上，便于对照比较。

教师断后：师生互动，对所有方法（定义法、投影法、坐标（基底）法、极化恒等式法）进行合理点评，其中在点评定义法求平面向量数量积的过程中，教师可与学生一起构建定义的三角形形式（即定义与余弦定理结合），并导出向量恒等式 。最后提问学生其他不同的想法，在教学中发现有较多学生还采取了“套远路”的思想（将 写成 处理）。

用你认为最优的方法求解下列各题：

变式1：已知正方形 的边长为2，点 在边 （包括点 和点 ）上运动时，求 的最大值以及 的值.

学生先行：学生独立思考大约3分钟，教师巡视。

交流呈现：投影展示2-3位学生的思维产物。

教 师断后：投影法抓住了问题的本质，看清了点 在运动过程中对投影产生的变化规律；坐标法也很好，学生易于理解，但没有投影法来得快捷；其余两个方法由于运动过程中变量较多，不适宜用。

变式2：如图，已知正方形 的边长为2， 为 的中点，若点 为正方形内（含边界）任意一点，求 的最大值.

学生先行：学生独立思考大约3分钟，教师巡视。

交流呈现：投影展示2-3位学生的思维产物。

教师断后：变式1到变式2，点在线段上运动演变到点在区域内运动，一维到二维，难度有所增加。投影法可以将

取得最大值时点 的位置找到，但 在 上的投影值较难求（如可通过相似三角形求解），不如用坐标法来得好。利用坐标法求解还涉及线性规划等知识，有一定的综合性。

变 式3：如图，已知正方形 的边长为2，动点 在以 为直径的半圆 上运动，求 的取值范围.

学生先行：学生独立思考大约3分钟，教师巡视。

交流呈现：投影展示2-3位学生的思维产物。

教 师断后：极化恒等式是解决此问的最佳途径，教师重在分析何时使用极化恒等式最为有效：两个向量的差运算为定向量。

变式4：如图，已知正方形 的边长为2，两条对角线相交于点 ，点 是线段 上的动点，求 的最小值.

学生先行：学生独立思考大约3分钟，教师巡视。

交流呈现：投影展示2-3位学生的思维产物。

教师断后：当一个问题陷入困境时，常常要回到定义中去。本题用定义法求解最佳，最后将问题转化为函数最值问题，可用二次函数法或基本不等式求解，对学生综合运用知识的能力有一定的要求。

课后再反思：变式4一学生利用极化恒等式也给出了解答，虽然笔者只是简单的投影一下，课后，几个对极化恒等式感兴趣的学生再次交流变式4的解法，给出了变式4的最佳解法如下（不用定义）：

当 时，即点 为 中点时取等号。

以上例题思维起点不高，但通过变式题的设计，问题逐渐推进，不断深化，使学生全面系统地掌握了平面向量数量积的解法，使他们对这些相似的问题有了更透彻的认识。从“课后再反思”来看，笔者想说的是，学生的思维是开放的，而笔者的思维禁锢在自编题的框架中。只要你给学生一个舞台，学生必会给你带来意想不到的惊喜，而这个惊喜往往是令人震撼的。

2.在变式题中寻找问题解决的共性。

在有变式潜能的问题中，可以多角度、全方位地折射出该问题的内涵。通过变式教学有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”中探求规律，逐步培养学生灵活多变的思维品质，提高其数学素养，培养其探索精神和创新意识。特别是突出概念内涵中本质属性的变式，这对数学概念的掌握可起到画龙点睛的作用。^[2]

案例4：以2012年浙江卷第15题为载体

例：在 中， 是 的中点， ， ，求 的值．

变式1：在 中， 是 的中点， ， ，求 的值．

变式2：在 中， 是 的外心， ， ，求 的值．

变式3：在 中， 是 中垂线 上任意一点， ， ，求 的值．

变 式4：在 中， 是 中垂线 上任意一点， ， ，求 的值．

其中，对于变式4学生给出的解答如下：

如图所示，设 为 的中点，则

（转化为变式1的情形） ．

分析：从例题到变式1，是逆向思维的变式；从变式1到变式2和变式3，是点的位置从特殊到一般的逐渐变化；从变式3到变式4又是数值从特殊到一般的变化。整个变式题层层递进，在最终变式4的解决中(学生上述解法比笔者的解法“过点 作 的垂线交 于点 ”更简洁，更优越)，学生“看穿”了所有问题的本质核心。这种变式教学让学生处于再创造、再发现的状态，有利于知识的再建构与再认识。

感悟：数学的魅力在于“变”，教师要善用一题多变，只有在教学安排上采用变式教学，注重学生思维推进的可持续性和思维生成的探索性，才能使学生不断处于发现问题——解决问题——成功喜悦的循环过程中，对问题的认知能力由浅到深，思考范围由窄变宽，以点带面，真正成为创造的主人。^[2]当学生给予问题的巧妙解决时，一切都显得那么自然——意料之外，情理之中。

（三）巧用图形结构，渗透数学思想，在构建中凸显信度。

平面向量具有代数形式和几何形式的“双重身份”。在实际操作的时候，我们完全可以根据代数式联想其几何意义，将计算与图形融为一体，其关键之处还在于领会向量几何，其运算不仅仅是数的运算，还包括图形的运算(如本文案例2中的方法1至方法4都是代数运算，而方法5则是图形运算)。所以在平面向量知识的整个学习过程中，都体现了数形结合的思想方法。^[3]只有教师在平时的教学中不断渗透图形运算，学生才能领悟其精髓，在解题中才有创造“奇迹”的时刻。

对于许多有关平面向量数量积或者模长的最值问题，我们常常是直接从代数的角度，或赋以平面向量坐标化，结合函数最值加以解决。在整个解决过程中，由于缺少直观，一些学生甚至对解答过程提出了可信度的问题。由于几何图形具有直观性，一方面，它能简化运算，如2005年的浙江高考题：已知向量 ， ，对任意 ，恒有 ，则有 成立；另一方面，它能很好地解决了所谓的可信度问题，甚至有意外生成。

案例5：仍以2012年浙江卷第15题为载体

试题：在 中， 是 的中点， ， ，则

分析：本题解法很多，是“一题多解”的一个极好的素材(本文不再赘述)，同时它也是一题多变的一个素材(见本文案例4)，其中最被众人津津乐道的是：它将极化恒等式 体现得淋漓尽致。

笔者在处理本题时，当利用特殊位置(假设 )解决时，一学生提出一个质疑：点 在以点 为圆心，3为半径的圆上运动，为什么本题的结果与点 在圆上的位置无关？虽然我采取基底法、坐标法、极化恒等式等方法加以说明，但学生还是将信将疑，学生不能信服。当即就有学生提出能否构造图形去理解呢？以下是课堂生成的思维产物，并将问题推广到了一般情形。

设 ， ，

法1（构造一个圆）：如下左图所示，过点 作 于点 ，则

法2（构造两个圆）：如下右图所示，以点 为圆心，作两个同心圆 ，半径分别为 和 ，设直线 交圆 与 两点，直线 交交圆 与另一点 ，则

问题再分析：上述两种解法，巧妙地利用了图形结构，在构建与解决过程中用到了平面几何的知识(直角三角形中的射影定理或相交弦定理、割线长定理，两种方法的共同点是都能用圆幂定理给予解释)，直观性强，尤其是方法2，一方面很好地解决了学生的疑问，凸显了图形语言解题时的信度，另一方面其优美的解答，也体现了学生的创造性思维。

感悟：在高中数学解题中，很多题目的条件主要以文字语言叙述的形式进行呈现，而学生通过文字语言的叙述，很难立即发现题目已知条件之间的关系，无形中增加了学生解题的难度。此时可依据题目条件构造图形，以直观形象的方式对题目已知条件进行呈现，从而将复杂抽象的问题简单化与形象化，以数形结合的思想求解数学问题，并在原问题与构造模型间建立桥梁，帮助学生发现解题的思路，在提高学生解题效率和解题能力的基础上，实现教学相长。^[4]

四、问题的反思

长期以来，我们的教学只有教师的主动而没有学生的主动，学生在课堂上处于被动思考状态，思维是紧绷的，而我们教师却在津津有味地讲述着备课中“预设”的知识。教学过程尽在教师的掌握之中，学生稍有“旁逸斜出”，教师也要往自己预设的框架中引导。这种现象严重压抑了学生学习的积极性和主动性，不利于学生创造力的培养。学生没有自己的体验，何来能力的提高？何来精彩的课堂？教学如同历险，没有意外、惊奇和生成，教学就缺少了生机和魅力。^[1]

叶澜教授曾说：“课堂应是向未知方向挺进的旅行，随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程。”因此，我们追求的课堂应该是：师生互动、生生互动，灵活巧妙地利用各种“突发事件”，在思维的不断碰撞中不断生成新的资源，让课堂教学焕发出生命的活力、智慧的光芒。^[5]对于某个问题，学生的燃点一旦被触发，思维就会集中在这个问题上，内心产生了对新知识的渴望，自然而然就逐渐产生主动学习的意识。

直到现在，笔者有时仍然包办得太多，急于教学内容的讲述，舍不得花时间让学生积极参与学习过程，课堂精彩的画面几乎看不到。在高三复习课堂教学中，我们还要学会等待。等待，是一门艺术，在等待中，在某个不经意间，触发学生思维的燃点，学生会有许多新奇的想法“生成”。无论我们多么精心的预设，也无法预知整个课堂的全部细节。只有给学生留白，才有机会触发学生的“灵性”，才能捕捉到精彩的瞬间。笔者认为，这无疑对学生还是教师本人，都是有利的。

参考文献：

[1] 徐学福 房慧.让学生做自己的老师——名师讲述如何提升学生自主学习能力[M].重庆：西南师范大学业出版社，2007.12：72，200.

[2] 周燕伟.三途径做好数学变式教学[J].高中数学教与学，2015（6）：31-34.

[3] 张景中 彭翕成.向量教学存在的问题及对策[J].数学通报，2009（9）：7-12.

[4] 王安.解题教学中的构造法探析[J].高中数学教与学，2015（10）：4-6.

[5] 刘旭东.高中数学课堂生成性资源的开发与利用[J].高中数学教与学，2015（3）：30-33.

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