向量交叉法则

张本红

四川省 攀枝花市大河中学 （ 四川 攀枝花 ） 617002

摘要：平面向量基本定理是向量学习的一个非常重要的内容，计算中掌握交叉法则可以使计算变得简洁。

关键词：向量 交叉法则 坐标

（人教版 必修4 P99 例8）设点 是线段 上的一点， 的坐标分别是 ， .

（1）当点 是线段 的中点时，求点 的坐标；

（2）当点 是线段 的一个三等分点时，求点 的坐标.

解：（1）如图2.3-14，

由向量的线性运算可知

.

所以，点 的坐标是 .

（2）如图2.3-15，

当点 是线段 的一个三等分点时，有两种情况，即 .

如果 （图2.3-15（1）），那么

，即点 的坐标是 .

同理，如果 （图2.3-15（2）），那么点 的坐标是 .

观察本题的结果，如图

， ， .

不难发现，向量 前的系数与点 分线段 的比例刚好相反（交叉），把握这个规律能迅速解题，如下：

若 ，则

。

例1 （2015年新课标1理 第7题）设 为 所在平面内一点，且 ，则（ ）

A. B.

C. D.

解：如图，

易知，

，即 ，故答案选A.

例2如图，在四边形 中， , ,把 沿 翻折，使得平面 平面 .

（Ⅰ）求证： ；

（ Ⅱ）在线段 上是否存在点 ，使得 与平面 所成角的余弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．

解：（Ⅰ）由已知， ,所以 ,

∵平面 平面 ，平面 ,所以 平面 ，

又∵ 平面 ， ∴ ．

（ Ⅱ）过点 作 平面 ,分别以 为 建立空间直角坐标系，则 , , ,

, , ,

设平面 的法向量为 ，

则 ,所以 ，故 ，

设在线段 上存在点N，使得 与平面 所成角的余弦值为 .

设 ,则 , ,

设 与平面 所成角为 ，则 ，解得 ，

所以在线段 上存在点N，使得 与平面 所成角的余弦值为 ，此时 .

注：本题 点坐标的计算：设 则 ，即 . 参考文献： 【1】杨学军, 徐炜遐, 窦强,等. 向量交叉多线程处理方法及向量交叉多线程微处理器:. 【2】李锋. 平面向量与其他知识的交汇赏析[J]. 数理化学习(高中版), 2011, 000(012):16-20.