Grownwall不等式连续性形式的证明及其应用

许天亮 樊晓敏

郑州财经学院 信息工程学院 河南郑州 450044

摘要：在证明经典的Grownwall不等式基础上，拓展了非负常数k为非负函数的情况并给予证明，最后使用该不等式证明微分方程解的唯一性定理。

关键字：证明；Grownwall不等式；唯一性；应用

Gronwall（格朗瓦尔）不等式是常微分方程课本中的一个重要不等式，经常被用来求微分方程解的取值范围和不等式证明，比如,它可以用来证明微分方程初值问题解的唯一性和解的不等式性质等问题。它与Holder不等式一样，分别具备离散形式与连续形式。本文给出了该经典连续形式不等式和推广后的证明方法及应用。

一、经典Gronwall不等式的证明

定理1 (Gronwall不等式) 设 为非负常数, 和 为在 上的连续非负函数,且满足不等式 + ,则有

,

证明 : 设 ,则 .用 乘不等式的两边得

即

再用 乘上式两边,得

两边从 到 积分,

并由 ,得

所以

推论 若 , 和 为在 上的连续非负函数,且满足不等式 ,

则有

二、经典Gronwall不等式的推广

如果把经典Gronwall不等式中非负常数 这个条件改为非负函数 ,就可以把该不等式进行更深层次的推广，经过推广可得定理2：

定理2 ：设 为 上的连续非负函数,满足

则： .

证明：由题意可知： ,

令 ,给(1)两边乘以 可得

,

所以有

从而上述命题证得。

三、Gronwall不等式在解的存在唯一性定理中的应用

引理： 函数 满足利普希茨（Lipschitz）条件,如果存在常数

使得不等式

对于所有 都成立。L称为利普希茨（Lipschitz）常数.

定理：（存在唯一性定理）

证明：如果 在矩形域 上连续，满足利普希茨（Lipschitz）条件，则方程

存在唯一解 ，定义于区间 上，且连续且满足初始条件 ，

这里 。

证明：解的存在性在参考文献[1]中有证明，这里不在证明，这里只证明唯一性。假定 为在 上的两个不同连续解。（在 雷同，不再证明）

的解，则有

，

做

其中 为Lipschitz常数。

利用Gronwall不等式有

则有 ，假定不成立，则连续解是唯一的。

从上面的例子看，利用Gronwall不等式证明了微分方程解的存在唯一性定理，除了这个证明，它的应用范围比较广泛，还可以证明一些不等式和初值问题的解等性质。因此，熟练掌握该不等式为解决其他问题提供了一种新的途径和方法。

参考文献：

[1]王高雄，周之铭，朱思铭等《常微分方程》高等教育出版社，2002年8月。

[2]罗梭 《常微分方程》上海科学技术出版社，1981年7月

[3]梁绍君 关于 Gronwall 不等式的注记， 西南交通大学学报, 2004( 3) : 394- 396。

[4]彭良香 Gronwall不等式的证明及有关应用。安庆师范学院学报(自然科学版)2015年11月。

[5]丁同仁 常微分方程教程[M],北京:高等教育出版社, 2005年4月。

[6]操和友,杨孟，谢胜利 Gronwall不等式的推广及其应用。 安徽建筑工业学院学报(自然科学版) 2008年10月。

[7]谢胜利, 杨志林.Banach 空间一阶非线性脉冲 Volter-ra 型积分方程和积分-微分方程初值问题的可解性及引理数学学报, 2003 , 46(3), 445-452。

[8]赵玉萍 Gronwall 不等式的应用及微分方程的奇解[J] ，青海师专学报(自然科学版)2002。

[9]梁绍君 关于 Gronwall 不等式的注记[J]， 西南交通大学学报, 2004( 3) : 394- 396。

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