纹明，从测度看《几何原本》的中国来源

程碧波

中国政法大学资本金融系副教授 北京 100088

学界认为，耶稣会数学家克拉维乌斯编注的《原本》（以下简称《克版》）1574年本前六卷被利玛窦、徐光启译成汉语并以《几何原本》为题在1607年出版。

但是笔者仔细研读所谓徐光启翻译的《几何原本》（以下简称《徐版》），有极强的证据支持以下结论：徐光启所翻译的《几何原本》的核心内容是中国本土原著的数学著作，而克拉维乌斯的《几何原本》以及其它西方版本的《几何原本》系来自中国《几何原本》。其关键证据是：西方的《几何原本》各种版本均完全误读了中国的《几何原本》。

徐光启版中国《几何原本》在卷一的“公论者不可疑”部分给出了几条公论（公理）：

1. 第一论：设有多度彼此俱与他等，则彼与此自相等。

2. 第二论：有多度等，若所加之度等，则合并之度亦等。

3. 第三论：有多度等，若所减之度等，则所存之度亦等。

4. 第四论：有多度不等，若所加之度等，则合并之度不等。

5. 第五论：有多度不等，若所减之度等，则所存之度不等。

6. 第六论：有多度俱倍于此度，则彼多度俱等。

7. 第七论：有多度俱半于此度，则彼多度亦等。

8. 第八论：有二度自相合，则二度必等。

9. 第九论：全大于其分。

克拉维乌斯《原本》中，在与以上九论对应的拉丁文中，没有字词与以上公论中的“度”相对应，而是使用了关系代词“那个（Quae）”。譬如第一论的拉丁文为“Quae eidem aequalia, et inter sesunt aequalia”。

在徐光启版《几何原本》卷一的“公论者不可疑”部分后续公论为：

1. 第十四论：有几何度等，若所加之度各不等，则合并之差与所加之差等。

2. 第十五论：有几何度不等，若所加之度等，则合并所赢之度与元所赢之度等。

3. 第十六论：有几何度等，若所减之度不等，则余度所赢之度与减去所赢之度等。

4. 第十七论：有几何度不等，若所减之度等，则余度所赢之度与元所赢之度等。

5. 第十八论：全与诸分之并等。

从第十四论到第十八论出现了“几何度”。这与“度”出现字面差异。克版在与第十四论到第十八论对应的拉丁文中没有与“几何度”对应的字词，对应的拉丁文为“aequalibus”与“inaequalibus”，意为等与不等。而目前流行的版本是希思英译评注本《欧几里得原本13卷》（以下称希思版）。此版卷一中的公论大为减少，只有：1、等于同量的量彼此相等。2、等量加等量，其和仍相等。3、等量减等量，其差仍相等。4、彼此能重合的物体是全等的。5、整体大于部分。而其中“量”与“物体”的原文都是同一个词“thing”。其并没有第十四论到第十八论，也就没有“度”和“几何度”的区别。西方所有版本《几何原本》中均没有阐述“度”和“几何度”的区别，而笼统写为“量（magnitudo）”或“连续量（quantitas continua）”。但徐版阐述了“几何”含义。

徐版卷五第一界：“分者，几何之几何也。小能度大，以小为大之分。以小几何度大几何谓之分。曰，几何之几，何者谓非？此小几何不能为此大几何之分也......本书所论皆指能尽分者。故称为分。若不尽分者，当称几分。几何之几如四于六，为三分六之二（即三分之二），不得正名为分，不称小度大也，不为大几何内小几何也”。

这段话清晰地阐述了何为“几何”：某量可以被更小的某度来整除，此量即为大几何，此度即为小几何。若不能整除，就“不为大几何内小几何也”，换言之，就不叫几何。本段对不能整除的，给出了另一个专门名词“几分”。因此“几何”与“几分”是互补的概念。这段话还给出具体数字的例子：八除以四无余数，则四是八之小几何，八为四之大几何。六除以四有余数，所以四不是六的小几何，六不是四的大几何。故第二界就说：“若小几何能度大者，则大为小之几倍”。

徐版卷五第四界说：“凡同理之比例有三种，有数之比例，有量法之比例，有乐律之比例。本篇所论皆量法之比例也”。因此，“几何”之定义，正是为“量法”，也即“测量之法”而产生的。度量衡一定有最小刻度，这就是最高精度。按前段话，若最小刻度是四，则若将其来测量六，则测量值要么取一个四，要么取两个四，这一个四就是一个最小刻度，两个四就是两个最小刻度。取一个四时，少测量了二；取两个四时，又多测量了二。只不过因为最小刻度为四，所以没有办法测量出二。要想测量出二，就必须采取最小刻度不大于二的更精密的度量衡。“几”的甲骨文 是测量长度的刻度模样，“何”为“负荷”，即“测量值”。

这就是现代分析数学中的测度论。因此按现代的语言，“度”即是指“度量衡的刻度”，“几何”即是指“相对某特定刻度的可测量”。前述第一论到第九论均是对“刻度”而言，第十四论到第十八论均是对“相对某特定刻度的可测量”而言，两者具有严格的区别。以第十八论“（几何度）全与诸分之并等”为例：以四为一度来测量六，假设采取四舍五入法，则测量得两度。若有两个六分别测量再加总，则一共有四度。但是如果将两个六合在一起进行测量，则是以四来测量十二，测量得三度。因此分别测量之后加总测量值，与合并之后一次测量，其值不同。这就违反了“全与诸分之并等”的公论（公理）。只有可测量，也即“几何度”才满足第十四论到第十八论的公论。

显然西方所有版本的《几何原本》都完全没有弄明白《几何原本》的真正意思。因此西方版的《几何原本》把“度”和“几何度”均混同为形体的客观真实数值而未认识到是刻度和测量值。自然地，西方所有版本的《几何原本》对这些公论的证明都是错误的。

徐版区分了有理数和无理数的测度。其卷五第三界说：“凡比例有二种，有大合有小合，以数可明者为大合，如二十尺之线比十尺之线是也。其非数可明者为小合，如直角方形之两边与其对角线可以相比而即非数可明者是也......即分至万分以及无数，终无小线可以尽分能度两率者是也”。因此徐版已经阐述了今天的有理数和无理数，并且将有理数比例称为大合，无理数比例称为小合。并指出小合之时，无论刻度的精度多高，都不可能量尽小合比例。换言之，对于无理数之测量，前述公论第十四到第十八均不再正确，产生了误差，因此为小合。但是克版在内的所有西方《几何原本》均以为前述公论在任何情况下均适用，因为它们误以为这些公论的对象是形体的客观真实值。徐版《几何原本》卷一第四十七题明确指出：“以开方尽实者为例，其不尽实者自具算家分法”。因此徐版指出，对无理数的处理，要通过算术系统来完成（中国算术系统在《墨经》中已经称呼无理数为“面”，在《周髀算经》时代已经可以通过割圆术计算无理数）。

徐版区分了“度”和“几何”的可分性和不可分性。其卷一第四求中说：“凡度与数不同。数者可以长不可以短，长数无穷，短数有限。如百数减半成五十，减之又减，至一而止。一以下不可损矣。自百以上增之可至无穷。故曰，可长不可短也。度者可以长，亦可以短。长者增之可至无穷，短者减之亦复无尽”。本段话说得非常清楚：刻度可以根据需要任意调节大小，但以既定刻度测量出的几何数，一定是刻度的整数倍数，不可能出现分数，因为刻度本身就是最高的精度，无法表达出比刻度更小的分数精度。所以刻度可任意小而几何数不可任意小。

由于西方版本《几何原本》把“度”与“几何”混同为“形体的真实值”，所以德谟克利特和他的老师留基伯把中国“几何”的不可细分性，误认为线段、面积和立体这些数学形体是由有限个不可再分的原子构成。亦由此可知，所谓德谟克利特出生于公元前五世纪的观点也是不正确的。同时这也导致了西方否定零和负数。但徐版其实是说“测量所得的几何数”不能为零或负数，因为如果为零，形体不存在，就不必测量。形体的值也不可能为负。这完全是从测量的前提来说的，但不是说在其它情况下也没有零或负数。综合来看，长期困扰西方的几乎所有数学问题，都是因为看了但不理解中国《几何原本》中“测量”的前提而产生的。

当“度”可以任意小后，“此刻度”与“彼刻度”下所测得的几何值必然就不同，需要进行彼此的单位换算，也即量纲换算，以分析数学的语言来说，就是“测度变换”。测度变换时，两种刻度之比既可能是整数，亦可能是分数，亦可能是无理数。《几何原本》中的比例计算部分，就是在阐述测度变换。

因此徐版的结构是清晰的：从点线面体开始，阐述测量的刻度、根据刻度进行测量的几何，再阐述测度变换的比例计算，再阐述测度变换中出现的分数和无理数比例，并将具体数值的计算归于算术，也即代数系统。其设计的数学题也朴实而紧扣主题。故《几何原本》用今天的话来说，是《测量与单位换算之书》，精炼地说即《可测量之原理》，更简地说即《测度原理》。其测量精度的阐述，清晰解释了几何度的公理不一定适合非几何度，能清晰地解释现代测度学中关于有限或无限的很多悖论。反观包括克版在内的西方《几何原本》，把“度”、“几何”和“真实数值”混为一谈，其体系结构杂乱无章，也无法解释为什么缺乏分数系统和算术系统。

克版序言中说：“因此欧几里得，几何学的大师，打算在《原本》中以不带任何数字的方式传授几何学的完美知识，他在前六卷中处理平面几何，在后五卷中处理立体几何，极为清楚地探讨了这些图形的性质”。显然欧几里得没有想到真正的《几何原本》恰恰是为数字服务，其核心是研究测量精度。

徐版阐述了非欧几何，这就是曲线角和杂线角。在其卷一第八界中说：“平角者，两直线于平面纵横相遇交接处”。第九界：“直线相遇作角为直线角。平地两直线相遇为直线角，本书中所论止是直线角。但作角有三等，今附著于此，一直线角，二曲线角，三杂线角”。“平角”是指“角”的形状为平直，且因纵横相遇而无零度和一百八十度角。直线角则有零度和一百八十度角。曲线角和杂线角之两边则可能为曲线，且不一定在同一平面。而克版对应的不是“平角”，而是“平面角，即两线在平面上倾斜接触，但并不彼此融合为一条线”。“平面角”只是说“角”的边线在同一个平面上，但“角”的边线不一定是直线，但因“倾斜”所以无零度或一百八十度角。不在同一平面上的曲线角和杂角没有纳入克版中。所以徐光启版本《几何原本》所说的“但作角有三等”的确是囊括了平面和立体情况下所有的角的可能。克拉维乌斯拉丁文《原本》是不能称之为“但作角有三等”的。而非欧几何正是研究曲面上的图形关系。所以徐版的曲线角、杂线角正是非欧几何之渊源，而克版的曲线角、杂线角则不是。徐版说：“本书中所论止是直线角。但作角有三等，今附著于此，一直线角，二曲线角，三杂线角”，说明在《几何原本》之外尚有专门论述非平面的曲线角和杂线角的著作，这就是后来的非欧几何。

希思版没有“曲线角”和“杂线角”的阐述，而是突兀地抄了徐光启版《几何原本》卷三第十六题：“圆径末之直角线全在圆外，而直线偕圆界所作切边角，不得更作一直线入其内。其半圆分角大于各直线锐角。切边角小于各直线锐角”，突然冒出来一个“切边角”和“半圆（分）角”。切边角无法被直线两分的原因是圆的切线与圆弧的夹角在切点处趋于零。所以任意不为零的直线角都大于切边角。

徐版并未停留在此，而是进一步深入阐述一个重要命题，也即卷十第一题：“设一小几何，又设一大几何，若从大者半减之，减之又减，必至一处小于所设小率”。直线角无论如何递减半，其都大于切边角，故卷十第一题似乎不对。但徐版认为切边角趋于无穷小，而直线角有限小，所以切边角不是直线角的小几何，故不满足卷十第一题“大几何”与“小几何”的条件。如果大几何与小几何均为切边角，就可以用小切边角来分大切边角，卷十第一题的结论就正确了。徐版很清楚这是由于度与被度的数具有不同阶数所致：大几何与小几何必须同阶。因此徐版说：“彼所言大小两几何者，谓夫能相较为大，能相较为小者也。如以直线分直线角，以圆线分圆线角。是已，此切边角与直线角岂能相较为大小哉？”。所谓“相较为大、相较为小”，不是“比较大、比较小”，乃是指“小几何不断以半率增加成为大几何、大几何不断以半率减少成为小几何”。所以徐版说：“有两种几何，一大一小，以小率半增之，递增至于无穷。以大率半减之，递减至于无穷，其元大者恒大，元小者恒小”。这句话的含义是：若大几何不断减半，小几何不断增半。无论递增和递减到什么时候，大几何都大于小几何，则大几何与小几何不能相较为彼此。这是徐版对“阶数”的正确描述。

而克版的表述是：“第十卷第一条命题是这样的：如果从两个不等连续量（quantitas）中较大的一方减去一个大于它的一半的连续量，然后继续从余下的连续量中减去它的一半，减而又减，剩余的连续量就会小于所设较小的连续量……同类角的相等需要两线之间相同的倾斜程度……而在切边角和半圆角中无法找到相等的倾斜程度，因为（当两角重叠时）它们的线并不重合，而是互相乖违......第十卷第一条命题只能适用于任一个均能增长到超过另一个的几何，无论它们是同类几何还是异类几何。而这并非切边角和直线锐角的情况”。克版与徐版的表述有两大不同。首先，克版使用的是“连续量”。显然直线角和切边角都是连续量，但是直线角连续量再怎么递减半，亦不可能小于切边角连续量。所以第十卷第一条命题就是错的。其次，克版是从切边角与直线角永远没有相等的倾斜程度的图形辨识角度，来判定切边角怎么增长也无法超过直线角。而徐版是阐述了另一个规则：“一个大量递减半，一个小量递增半，如果小量始终小于大量，则此两量不能相较为彼此，也即不能为大几何与小几何”。这已经不限于直线角和切边角，而是普适性的高阶无穷小量判别。这才是真正的数学分析。希思版的《几何原本》第十卷命题一说：“给出两个不相等的量，若从较大的量中减去一个大于它的一半的量，再从所得的余量中减去大于这个余量一半的量，并且连续这样进行下去，则必得一个余量小于较小的量”。其没有提及大量和小量的阶数问题，也没有提及小量是大量的小几何的问题，其错误就更大了。

作为刻度确定及单位换算的《几何原本》，既不是数学逻辑的起点也不是数学逻辑的终点。西方版《几何原本》卷一从定义“点”、“线”、“面”开始定义，这似乎是逻辑的起点，但其实并不对。希思版说：“直线是它上面的点一样地平放着的线”、“平面是它上面的线一样地平放着的面”、“等量加等量，其和仍相等”。那么何谓“平放”？显然是讲不清楚的。又如“相等”，应该是“一定前提下A和B可以相互置换而不影响结果，此谓A与B相等”，因此定义中要有前提、有结果，然后可说“相等”，否则“相等”亦模糊不清。这是西方版被诟病的根子。因此《几何原本》中的定义不可能是逻辑起点，相反，它必须要引入物理的实体世界来补充逻辑起点。徐版很清楚这点，因此在正文中写“直线之中点能遮两界”、“平面中间线能遮两界”、“用一直绳拖于角，绕面运转，不碍于空，是平面也”。前两者均用物理世界的光线来定义直线和平面，最后者用力学来定义直线和平面。在这样的定义下，《几何原本》的基础才牢不可破。西方版由于没有物理判据，其直线、平面和等于的概念不清，必然出现混乱。但这种混乱并非非欧几何产生的根源，徐版中的曲线角、杂线角才是非欧几何产生的根源。

克版中亦讲了光学研判标准，但却搁在注释部分，因此其对于物理判据的重要性是缺乏认识的。在他看来，这只是补充的形象化说明，而不是《几何原本》逻辑体系的基础。克拉维乌斯、欧几里得等人都厌恶物理世界的引入，而误以为这是一本完全形而上学的书。