关于渗透系数与透水率关系的公式推导与探讨

高宏志

中国水电基础局有限公司 天津 301700

摘 要：地层的透水性强弱是确定水利水电工程防渗设计方案的依据，同时也是评判防渗施工效果的依据。目前衡量地层透水性强弱的常用指标有2个:一个是渗透系数,一个是透水率。关于渗透系数和透水率的关系问题一直被人们关注和研究，但研究成果也存在很多差别。本文通过构建钻孔压水模型，并对渗透系数计算公式进行推导，从公式角度分析二者之间的关系和影响因素，并结合工程实际进行分析和探讨，以便能给同行一定的借鉴和参考。

关键词：渗透系数;透水率;关系;探讨

1.前言

地层的透水性强弱是确定水利水电工程防渗设计方案的依据，同时也是评判防渗施工效果的依据。目前衡量地层透水性强弱的常用指标有2个:一个是渗透系数,一个是透水率。渗透系数使用范围广泛，从起初的天然土层、岩层，到后来的人造砂浆、混凝土，甚至塑料、金属材料等，基本囊括了所有材料，对其检测主要分为室内试验和野外现场试验两种。透水率（吕荣值）则主要用于岩石地层，通过现场钻孔压水试验测得（基本无室内试验），主要用于与钻孔相关的工程勘察和基础防渗工程中。关于渗透系数和透水率的关系一直被人们关注和研究，但研究成果也存在很多差别。本文通过构建钻孔压水模型，并对渗透系数计算公式进行推导，从公式角度分析二者之间的关系和影响因素，并结合工程实际进行分析和探讨，以便能给同行一定的借鉴和参考。

2渗透系数介绍

渗透系数一词起源于1856年，是法国水力学家亨利·达西(Henry Darcy)，通过对均质砂土进行大量渗流试验研究，得出孔隙介质的渗流能量（水力梯度J，无量纲）与渗流速度V之间呈线性正比关系，即达西定律，公式为“V=KJ”， K定义为渗透系数。渗透系数由渗透介质本身特性决定。达西定律是反应流体在多孔介质内运动的基本规律，也是从宏观角度描述渗流过程的统计规律。达西定律适用条件是：土体骨架不变形，流态为不可压缩牛顿流体的层流渗流。

达西定律本文过不多介绍，现以塑性混凝土室内渗透系数试验为例，进行说明。在《水工塑性混凝土试验规程》DL/T5303-2013中，塑性混凝土渗透系数试验，是用1组（2个）抗渗试件（上口φ175mm×下口φ185mm×高150mm的截头圆锥体）进行，试件安装在混凝土抗渗仪上，试验时水从试件下口渗入，从试件上口渗出（见图1）。

1-抗渗试件；2-进水口

图1：塑性混凝土渗透系数试验示意图

当试件到达龄期前一天，将试件放入真空饱水装置中进行饱和。达到龄期进行试验时，将试件侧面封闭，安装在抗渗仪上并根据设计要求的水力坡降计算试验水压力，将抗渗仪水压力一次加到计算水压力，直至试件上端面出现渗水（若计算试验水压力下未渗水，则逐级升压继续试验）。用中性滤纸或吸水性好的材料将渗水吸干，同时开始记录时间。将足量的滤纸称重，并覆盖在渗水试件表面，盖上玻璃板，间隔1-2h取出中性滤纸称重，前后2次质量差即为该时段的渗水量。记录连续6个时段的渗水量。以6个时段测值的平均值作为结果。当6个时段渗透系数最大值与最小值之差超过2×10^-n时，舍去最大值和最小值，取其余4个时段平均值作为试验结果。试验水压力按照公式“H=JL”计算，式中，H—试验水压力，用水柱高度表示，cm；J—设计渗透比降；L—试件渗水高度，15cm。混凝土渗透系数计算公式为：

式中，K_T—水温T℃时试件的渗透系数，cm/s；V—时间t秒内的渗透水量，cm³；L--试件渗水高度，15cm；H—试件渗水时的水压力，cm；t—间隔时间，s；A—试件平均截面积，cm²；

3透水率介绍

透水率（吕荣值）多用于岩石地层钻孔压水试验，反应岩石地层透水能力的强弱。透水率单位为吕荣值（Lu）。透水率计算公式为q=Q/PL（Q为流量，单位L/min；P为作用于钻孔试段内的平均水压力，单位MPa；L为试段长度，单位m）。将透水率计算公式中的各参数进行单位换算后，透水率与渗透系数单位相同，均为cm/s。当P、Q、L均取值为1时，得到：1（Lu）=1.667×10^-5（cm/s）。单位换算过程如下(按照1MPa=100m水头计算)：

4钻孔注（压）水渗透系数试验公式的推导与分析

4.1桩柱体混凝土竖直钻孔注（压）水结构模型

桩柱体混凝土中心竖直钻孔注（压）水试验在竖直方向上因混凝土巨厚，可视为不透水层，注水或压水试验结构模型参见图1与图2。

图1：桩柱体混凝土竖直钻孔注（压）水结构模型示意图

图2：桩柱体混凝土中心钻孔注（压）水法渗水模型示意图

4.2 桩柱体混凝土中心钻孔注（压）水法试验公式推导

根据《水工塑性混凝土试验规程》DL/T5303-2013中渗透系数计算公式“K_T=Vh/AHt”，结合图1和图2结构，对桩柱体混凝土采用中心钻孔注（压）水法检测渗透系数，有如下计算结果：

（1）渗水距离（渗径）h。h=R-r；（h为原室内渗透系数试验公式中试件高度，即渗透距离；R、r分别为桩柱体渗水模型半径及钻孔半径）。

（2）平均渗水面积A。A取渗径中点连线所形成的圆，在试段长L下构成的圆柱体侧面积，即A=2π[（R-r）/2+r]×L=π（R+r）L,（L为试验段长度）。A也可以理解为渗入面积“2πrL”与渗出面积“2πRL”的平均值，即A=（2πrL+2πRL）/2=π（R+r）L。

（3）将渗水距离h与平均渗水面积A带入渗透系数计算公式(不考虑温度影响)，得到桩柱体中心钻孔注（压）水渗透系数计算公式：

“公式1”中，V为时间t秒内的渗透水量，cm³ ；L为试验段长度，cm；H为水压力，cm；t为间隔时间，s；R、r分别为桩体半径及钻孔半径，cm。另Q=V/t，cm³/s,并带入“公式1”则得到“公式2（其中q=Q/LH，单位换算为cm/s）”：

4.3理想渗水模型下渗透系数与透水率公式的对比与分析

将透水率计算公式与新推导的桩柱体混凝土钻孔注（压）渗透试验计算公式（“公式2”）进行对比，发现两者相似。观察“公式2”还可发现“（R-r）/π（R+r）”是“渗径h/环状渗区平均周长”，而“（R-r）²/π（R²-r²）”是“渗径h²/环状渗区面积”（或理解为桩体横截面上“渗水扩散距离的平方/渗水扩散面积”）。对此，我们是否可以这样理解，当对岩石地层进行压水试验时，将地层视为均匀的桩柱结构透水体（图1与图2模型结构），“渗入水”都均匀的经过透水体成为“渗出水”，且在渗出边界R时水压为0，此时渗透面积取“渗入面积”（2πrL）与“渗出面积”（2πRL）的平均值，由此得到公式2。在“公式2”成立的基础上，当理想扩散半径R较大，而压水孔半径r相对很小时，公式2中“（R-r）/（R+r）”近似等于1，则“公式2”可简化为：

综合考虑，我们是在理想的透水模型中，且取“平均面积”作为“原公式”中的渗透面积，由此推导出“公式2”，这么做主要是为了便于我们理解渗透系数与透水率的关系。而实际的透水率公式“q=Q/PL”中并没有体现模型中的“理想渗径R”和“压水孔半径r”的概念。但实际钻孔孔径的大小，又会影响到注入流量大小，从而影响到试验计算结果，很多研究者的试验误差也应来源于此。从另一角度考虑，对岩石地基的压水试验，注水量主要从岩体裂隙或破碎薄弱带渗出（或流出），岩石结构内的毛细孔道渗水量相对较小，甚至在较短的压水试验时间内很难形成渗流通道，也就说无法权衡裂隙薄弱带渗水和毛细孔道渗水的比例。在不了解岩石地层真实结构的情况下，注水扩散理想半径R到底有多大也无从知晓，钻孔半径r相对很小又被忽略不计，所以最终提出了透水率（q=Q/PL）的概念，作为一种综合反应岩石地层透水能力的参数。而且我们还应该注意到透水率试验中，只考虑水是怎么来的，未考虑水是怎么流走的。透水率公式中的流量Q是“压入流量”，而渗透系数中的Q是“渗出流量=渗入流量”，应从概念上理解和区分。

综上所述，渗透系数与透水率两者在试验条件下发展趋势相同，但概念不同，渗透系数是对较均匀且有渗透尺寸的介质而言，而透水率是对复杂地层的综合考虑，只有将渗透地层视为有边界的理想渗流模型时两者才有某种关系。总之，渗透系数与透水率虽然单位相同，但是含义不同，即便在某种特定条件下可以获得一定规律性，甚至具有指导工程的实际意义，但从理论上说两者有本质的区别，应注意理解和区分。

5关于渗透系数与透水率关系的其它介绍

在《水利水电工程钻孔压水试验规程》SL31-2003中的推荐，当试段位于地下水位以下，透水率＜10Lu时，P—Q曲线为层流型时，可用下式求算岩体渗透系数：

式中：K-地层渗透系数，m/d;Q-压入流量，m³/d；H-试验水头，m;L-试验段长度，m;r—钻孔半径，m。可见，关于透水率q与渗透系数K之间不是简单的对应关系，目前人们研究两者的关系也都是基于某种渗流条件下通过q计算K的，各种条件下人们研究的结果和计算公式也很多，但基本都按照渗流规律去研究。实际上岩体内部复杂多样，例如渗水通过大孔道、大裂隙、微裂隙、断层破碎带等，同时岩体自身的复杂毛细孔道也有渗流存在，透水率实际上多半是各种流态的混合形式，所以公式计算结果只是一种理想状态下的平均结果。

6结论

（1）渗透系数基本适用于所有物质，并由物质自身特性决定。达西定律适用于物质骨架不变形，流态为层流的渗流。透水率主要用于岩石地层钻孔压水试验，反应岩石地层综合透水能力的强弱，它不考虑流态、渗径及扩散范围，不考虑压水孔径对试验结果的影响，也不考虑岩石地层的结构及渗水形式。

（2）通过构建桩柱体中心钻孔注（压）水渗流模型，可以推导渗透系数与透水率在理想条件下的关系公式，通过推导公式我们发现，渗透系数与透水率存在某一换算系数，即 “渗透系数=（桩体横截面扩散距离的平方/桩体横截面扩散面积）×透水率数值（cm/s）”，在这种模型假设下，可以便于大家理解渗透系数与透水率的关系。

（3）渗透系数与透水率两者单位相同，在试验条件下发展趋势相同，但概念含义不同，将地层理想化为符合达西定律，且建立在一定假设条件下时，两者存在某种关系，甚至具有指导工程的实际意义，但从概念和理论上说两者有本质的区别，应注意理解和区分。

参考文献：

1. 《水工塑性混凝土试验规程》DL/T5303-2013；

2. 《水利水电工程钻孔压水试验规程》SL31-2003；