小学数学 开放题型 的初探

赵明媛

四川省成都市金牛区天一学校 610100

摘 要：开放型数学题是最近几年活跃起来的一种特殊题型，其教育价值在于培养学生对数学的积极态度，在寻求解答的过程中主体认知结构的重建，能激发学生的好奇心，能使学生经历知识再创造的过程，有助于学生创新意识和探索能力的养成。本文对开放型数学题的类型、教育功能和求解方法等作一些探讨。

关键词：数学解题；开放型题；解法研究

1．数学开放题的含义

开放型数学题是在70年代开始出现的一种新题型，也是近年来中、高考命题的一个热点。所谓开放题，即开放结果的问题，它只是相对于封闭题而言的。传统的数学题条件完备，结论确定，这类题称为封闭型数学题。关于数学开放题的定义并没有一个统一的界定，本人认为，所谓“数学开放题”是指“凡是答案不唯一或者条件不完备或者具有多种不同的解法的题目，均可称为开放题”。一般地说，一个习题系统R′通常包括四要素：已知条件R，解题依据O，解题方法P，结论Z，即R′=｛R,O,P,Z｝，其中

缺少R或Z的命题，称为开放题。

2．数学开放题的特征

数学开放题一般具有以下特征：

（1）不确定性。所提的问题常常是不确定和一般性的，其背景情况也是用一般词语来描述的，主体必须收集其他必要的信息，才能着手解题。

（2）没有现成的解题模式。有些答案可能易于直觉地被发现，但是在求解过程中往往需要从多个角度进行思考和探索。

（3）有些问题的答案是不确定的，存在着多样的解答，但重要的还不是答案本身的多样性，而在于寻求解答过程中主体的认知结构的重建。

（4）在求解过程中往往可以引出新的问题，或将问题加以推广，找出更一般，更有概括性的结论。

3．数学开放题的分类

3．1从命题要素分为四类

从构成数学题系统的四要素（条件、依据、方法、结论），定性地可分成四类：（1）如果寻求的答案是数学题的条件，则称为条件开放题；（2）如果寻求的答案是依据或方法，则称为策略开放题；（3）如果寻求的答案是结论，则称为结论开放题；（4）如果数学题的条件、解题策略或结论都要求解题者在给定的情境中自行设定与寻找，则称为综合开放题。

3．2按开放度分为三类

从开放题答案的开口情况出发，定量地可分成三类：（1）弱开放题。答案情况（包括可能情况）只有两种的开放题；（2）中开放题。答案情况（包括可能情况）超过两种，但为数目确定的有限种；（3）强开放题。只能给出部分答案情况，答案情况（包括可能情况）总数难以确定的开放题。

对开放题的分类讨论，有助于理解开放题的概念，有助于把握问题的开放度，有利于教师把握一个数学开放题是否适用于课堂教学，或者有利于教师改变开放题的设问方式以帮助课堂教学，或者有利于考试评分的可操作性与公平性。

4．数学开放题解题策略

由于数学开放型题的条件不充分，没有明确的结论，这种不确定性使得许多学生对此类问题的解决感到无从下手，在义务教育阶段学生在此类型的题上失分较大。本文介绍开放型数学题型的几种解题策略。

4．1直接推理法

在小学五年级北师大版的教材中我们学习了“真分数和假分数”时，在学生已基本掌握了真假分数的意义后，

例1（选自教材）：是真分数，还是 假分数？因为a、b都不是确定的数，所以无法确定 是真分数还是假分数。在学生经过紧张的思考和激烈的争 论后得出这样的结论：当b＜a时， 为真分数；当b≥a时， 是假分数。这时教师进一步问：a、b可以是 任意数吗？ 这样不仅使学生对真假分数的意义有了更深刻的理解，而且使学生的逻辑思维能力得到了提高。

4.2类比法

在小学五年级北师大版的教材中我们学习学习分数时，学生对“分率”和“用分数表示的具体数量”往往混淆不清，以致解题时在该知识点 上出现错误，教师虽反复指出它们的区别，却难以收到理想的效果。在学习分数应用题后，让学生做这样一道

例题：“有两根同样长的绳子，第一根截去 ，第二根截去 米，哪一根绳子剩下的部分长？”

此题出 示后，有的学生说：“一样长。”有的学生说：“不一定。”我让学生讨论哪种说法对，为什么？学生纷纷发 表意见，经过讨论，统一认识：“因为两根绳子的长度没有确定，第一根截去的长度就无法确定，所以哪一根 绳子剩下的部分长也就无法确定，必须知道绳子原来的长度，才能确定哪根绳子剩下的部分长。”这时再让学 生讨论：两根绳子剩下部分的长度有几种情况？经过充分的讨论，最后得出如下结论：①当绳子的长度是1米时 ， 第一根的 等于 米，所以两根绳子剩下的部分一样长；②当绳子的长度大于1米时，第一根绳子的 大于 米，所以第二根绳子剩下的长；③当绳子的长度小于1米时，第一根绳子的 小于 米 ，由于绳子的长度小于 米时，就无法从第二根绳子上截去

米，所以当绳子的长度小于1米而大于 米时，第一根绳子剩下的部分长。

4.3一题多解法

例题：甲乙两队合修一条长1500米的公路，20天完成，完工时甲队比乙队多修100米，乙队每天修35米，甲队 每天修多少米？    

这道题从不同的角度思考，得出了不同的解法：    

先求出乙队20天修的，根据全长和乙队20 天修的可以求出甲队20天修的，然后求甲队每天修的。    

算式是（1500－35×20）÷20    

先求出乙队20天修的，根据乙队20天修的和甲队比乙队多修100米可以求出甲队20天修的，然后求甲队 每天修的。    

算式是：（35×20＋100）÷20    

可以先求出两队平均每天共修多少米， 再求甲队每天修多少米。    

算式是：1500÷20－35    

可以先求出甲队每天比乙队多修多少米， 再求甲队每天修多少米。    

算式是：100÷20＋35    

假设乙队和甲队修的同样多，那么两队20天共修（1500＋100）米，然后求两队每天修的，再求甲队每 天修的。    

算式是：（1500＋100）÷20÷2    

假设乙队和甲队修的同样多，那么两队20天共修（1500＋100）米，然后求甲队20天修的，再求甲队每 天修的。    

算式是：（1500＋100）÷2÷20  

假设乙队和甲队修的同样多，那么两队20天共修（1500＋100）米，也就是甲队（20×2）天修的，由此 可以求出甲队每天修的。    

算式是：（1500＋100）÷（20×2）    

然后引导学生比较哪种方法最简便，哪种思路最简捷。  4.4假设法

例题：鸡兔同笼共80个头，208只脚，鸡和兔各有几只？

分析：假设这80头全是鸡，那么，脚应是2×80＝160(只)，比实际少208－160＝48(只)脚，这是因为1只兔有4只脚，把它看成是2只脚的鸡了，每只兔少算了2只脚，共少算了48只脚，48里面有几个2，就是几只兔。

假设全是鸡：

求兔：(208－2×80)÷(4－2)

＝48÷2

＝24(只)

80－24＝56(只)

答：鸡有56只，兔有24只。

数学开放题的解决，离不开数学基础知识的学习，对有关概念、解题方法的认识，记忆是解决的基础；反之，数学开放题的解决又促使解题者加深对相关知识的认知、理解并加深记忆。而它的实施常常需要学生围绕某一数学或实际问题，广泛搜集相关资料、分析资料、提出问题、大胆猜想、解决问题、得出科学结论，在这种探究活动中，不断培养学生研究能力和创新能力。好的方法来自活的思路，活的思路离不开平时严格的训练，结论开放型数学题的解题技巧，还要在刻苦的磨练中进一步摸索。

参考文献：

[1].林格论 , 课堂教学心理学 , 云南:云南人民出版社, 1983.

[2].M.尼斯 ,论数学教师的培养, 上海：华东师大 数学教学 1994 （6）.

[3].余致甫主编 ,数学教育学概论，华东化工学院出版社，1990.

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