岩石单轴抗压强度多元非线性逐步回归分析及应用

祁连光 董明照 曹光磊

淮北矿业（集团）有限责任公司许疃煤矿 安徽淮北 235000

摘要：岩石单轴压缩试验是实验室获得岩石单轴抗压强度等力学参数的主要手段。由于单轴抗压强度主要受岩石本身和环境等因素的影响与制约，试验结果往往呈现出随机性、模糊性。针对淮南矿区11-2煤顶板岩石进行单轴压缩试验，在获得88组试验数据的基础上，以UCS为因变量，ρ、E、ρ²、E²和ρE为自变量，运用SPSS19.0专业数理统计软件，采用逐步回归分析方法建立了多元非线性回归模型。运用该模型对淮南矿区13煤顶板岩石强度进行预测，结果表明该模型能够较好地预测岩石的单轴抗压强度。因此该多元非线性回归模型可为相似煤系地层岩石估算其抗压强度值时具有一定的借鉴和参考意义。

关键词：单轴抗压强度；单轴压缩试验；11-2煤；多元非线性；逐步回归分析

中图分类号：TU 45 文献标识码：A

引 言

在岩石力学试验中，岩石单轴压缩试验是室内实验室获得岩石单轴抗压强度、弹性模量以及其它力学参数的主要手段。然而通过单轴压缩试验获得的抗压强度要受到来自岩石本身因素和试验环境与物理环境等因素的影响与制约^[1]，使得岩石单轴压缩实验结果本身的离散性很大，即通过岩石样本力学参数试验获得的岩石力学参数具有随机性和模糊性^[2-3]。因此若能从这些试验成本高昂的数据中建立单轴抗压强度与其它物理力学参数之间的相关关系式， 我们就可以通过相关关系式利用其他岩石物理力学来推测岩石力学单轴抗压强度，进而准确地判断出待研究岩石工程特性的单轴抗压强度及可被采用的单轴抗压强度显得尤为重要。

在探索岩石单轴抗压强度与其它岩石力学参数关系方面，国内外学者已从积累的工程数据中做了大量研究工作，并获得了一些经验关系式^[4~11]。以往对岩石单轴抗压强度与其他力学参数相关性研究时，主要考虑拟合优度的问题，往往忽略了训练样本量、参数的非线性和回归方程检验等问题，因此获得的回归方程尽管拟合优度较高，但能解释的样本较小，使得回归方程不稳定。

综合以上所述，结合淮南矿区上提工作面顶板地质条件，基于获得的88组岩石单轴压缩试验数据，运用SPSS19.0专业数理统计软件，采用逐步回归分析法对单轴抗压强度进行多元非线性回归分析。

1 单轴压缩试验

1.1试样制备

本次试验取样地点为淮南矿区某矿-650m水平11-2煤层顶板，取芯范围距地表575m至640m，所采集的岩芯样品17组，每组取芯孔深在23~25m之间，平均孔深为27.3m。本次试验按照煤岩物理力

图1 部分单轴压缩试验岩石试样

学性质测定方法等相关规定的要求^[12]进行岩石取芯、加工和测试研究。本次试验共加工88个可进行单轴压缩试验的岩石试样，如图1所示。试样岩性主要为砂岩类；部分为泥岩，极少部分为菱铁矿岩、石英砂岩。

1.2试验设备及试验装置

本次试验采用中国科学院武汉岩土力学研究所

研制的RMT-150B型岩石力学试验系统，以单轴压缩试验装置进行岩石单轴压缩试验，试验加载过程中，采用速率为0.005 mm/s位移控制方式。

2试验结果分析

表1 试验数据统计参数

项目	单轴抗压强度	天然密度	弹性模量
样本数	88	88	88
最小值	36.7	2373.9	5.2
最大值	234.9	3423.1	79.8
样本均值	95.6	2614.1	24.9
中位数	95.7	2560.9	24.0
样本标准差	37.4	194.0	14.1
变异系数%	39.1	7.42	56.76
自由度	87	87	87
置信水平	0.95	0.95	0.95
置信上限	93.6	2612.1	22.9
置信下限	103.5	2655.2	27.9

对试验所得的88组岩石物理力学参数进行各项数理统计计算，见表1。由表1可知，应从各自的变异系数来分析，在本次试验所得数据中，天然密度离散度最小，弹性模量的离散度最大。

3多元非线性逐步回归分析

3.1逐步回归分析法建立多元非线性回归模型

逐步回归分析法的基本思想^[13]：在引入自变量的显著性水平α_in和剔除自变量的显著性水平α_out下逐个引入自变量（本文取α_in=0.05，α_out=0.1）。逐个引入自变量，每次引入对因变量影响最显著的自变量，并对方程中的老变量进行检验，把变为不显著自变量逐个从方程中剔除掉，最终得到的方程中既不漏掉对因变量影响显著的自变量，又不包含对因变量不显著的变量。

以表2获得的数据为研究对象，选取UCS为因变量，ρ、E、ρ²、E²和ρE为自变量，建立以下模型：

（1）

运用SPSS19.0数理处理软件进行多元非线性处理。在进行非线性回归拟合之前，根据可化为线性回归的非线性回归模型基本理论^[14]可知，多元非线性回归模型可先通过变量代换化为线性回归模型，然后依据最小二乘原理，按照逐步回归分析方法进行非线性回归拟合。由表2可知自变量对因变量都有显著性影响，因此回归方程见公式2，该回归方程拟合优度为93.6%，即该回归方程能接受93.6%的总变差。

表2 Model summary^f

Model	R	R Square	Adjust R Square	Std Error of the Estimate
1	0.887a	0.787	0.785	17.34
2	0.906b	0.821	0.817	15.99
3	0.935c	0.874	0.870	13.48
4	0.949d	0.900	0.896	12.07
5	0.968e	0.936	0.932	9.73

a.Predictors: (constant), E.

b. Predictors: (constant), E, E².

c. Predictors: (constant), E, E², E*ρ.

d. Predictors: (constant), E, E², E*ρ, ρ².

e. Predictors: (constant), E, E², E*ρ, ρ², ρ.

f. Dependent Variable:UCS.

(2)

式中： 为单轴抗压强度， 为天然密度， 为弹性模量。

3.2多元非线性回归方程检验及残差分析

3.2.1 回归方程显著性检验

表3 回归方程方差分析表

模型	来源	平方和	自由度	均方	F值	显著性
5	回归	113786.546	5	22757.309	240.446	0.000
	残差	7760.984	82	94.646
	总和	121547.530	87

回归方程显著性检验可以通过F值或相关系数两种检验方法进行检验，由于两种方法等价，因此

本文只进行F检验。多元非线性回归方程的方差分析表（ANOVA）见表3。由表3可知，在显著性水平为α=0.05的条件下该模型的F值为240.446大于临界值F_α(p，n-p-1)=F_0.05(5，82)=0.999，因此经检验可知，本文建立的多元非线性回归模型是显著的。

3.2.2 回归系数显著性检验

单轴抗压强度多元非线性回归方程t检验的统计数据如表3所示。由表3可知方程的偏回归系数的绝对值均大于临界值t_α/2(n-p-1)=t_0.025(82)= 1.989，因此回归方程的自变量ρ、E、ρ²、E²和ρE对单轴抗压强度影响是显著的。

3.2.3 回归方程残差正态性、独立性检验

图3 标准化残差正态概率图

为了分析二次回归模型的正态性与随机性，利用SPSS19.0绘制出标准化残差的直方图和计算回归方程残差项Durbin-Watson值。图3表明回归方程的残差项服从正态分布，说明残差项具有随机性。回归方程Durbin-Watson值为1.978，通过查表知其临界值为D(88，5)=(1.559，1.749)，Durbin-Watson值约等于2大于其临界值的上界，残差与自变量相互独立，即残差项具有独立性。因此可以判断出回归方程的残差具有正态性和随机性。

3.2.4 回归方程的试验验证

表4 淮南矿区13煤顶板岩石实测强度与模型预测强度比较

No.	实测Rc	ρ	E	预测Rc	误差	误差率
1	57.22	2527.95	11.33	56.65	-0.57	-1.00
2	131.20	3265.72	43.07	136.67	5.46	4.16
3	123.33	3268.97	40.12	122.71	-0.62	-0.51
4	172.58	3325.72	56.75	179.93	7.36	4.26
5	73.88	2481.50	16.51	73.53	-0.34	-0.46
6	81.73	2465.89	19.09	80.22	-1.52	-1.86
7	71.28	2480.23	15.28	69.42	-1.86	-2.61
8	49.86	2257.47	16.29	46.96	-2.90	-5.82
9	74.35	2538.83	15.56	73.11	-1.24	-1.67
10	41.32	2662.62	9.89	47.66	6.35	15.37
11	91.20	2941.74	23.76	92.01	0.81	0.88

单位说明：R_C：MPa，ρ：kg/m³，E：GPa，误差：MPa，误差率：%

通过以上检验，可知建立的单轴抗压强度多元非线性回归方程具有显著性和适用性。为了验证其实用性，本文利用建立的模型对相似地质条件下的淮南矿区13煤顶板岩石单轴抗压强度进行预测，见表4。除第10组数据预测偏差比较大外，其他预测强度与实测强度均比较接近。由表4可知，利用本文所建立的多元非线性回归模型，对岩石单轴抗压强度预测误差小，预测精度高。因此，在现场取芯困难或实验室岩石试验获取数据不全情况下，该模型可为相似煤系地层开采参数设计、巷道支护设计、数值模拟和相似模拟试验等有关工程设计和试验中估算其岩石单轴抗压强度提供参考和依据。

4 结 论

（1）本文对淮南矿区11-2煤顶板岩石进行单轴压缩试验，对获得88组单轴压缩试验数据基础进行各项数理统计分析，在本次试验所得数据中，天然密度离散度最小，弹性模量的离散度最大。

（2）运用逐步回归分析法，经专业数理统计软件SPSS19.0建立了岩石单轴抗压强度多元非线性回归模型，回归方程拟合优度为93.6%

（3）该模型通过F检验、t检验及残差正态性、随机性检验，建立的单轴抗压强度多元非线性回归模型具有较高的适用性。

（4）运用该回归模型对淮南矿区13煤顶板岩石强度进行预测，预测值具有较高的预测精度，可为相似煤系地层有关工程设计和试验中估算其岩石强度值具有一定的借鉴和参考意义。

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作者简介：祁连光(1988–)，男，安徽理工大学能源与安全学院采矿工程专业硕士研究生，现为淮北矿业许疃煤矿生产技术部设计主管技术员。