合理运用数学思维方法 发展学生数学思维能力

陈润南

东莞市洪梅镇中心小学 广东东莞 523000

数学思维是指学生在学习数学过程中形成的思维，学生在掌握课本知识内容后可以发散自己的思维。数学思维是学生思维能力的重要表现，它不仅是学生所具备的处理数学问题的能力，更是学生用数学方法处理生活问题的重要能力。学生只有学会了数学思维，掌握了数学思维方法，才能增长知识，学好数学，学习能力才能得到发展。因而，在教学过程中合理运用数学思维方法，对于学生数学思维能力的发展，最终形成良好的学习能力和创新能力都具有十分重要的意义。那么如何合理运用数学思维方法，引导学生在课堂上能积极探索，独立思考，自主学习，学生的数学思维得到更好的发展呢？

一、设置问题引领，激活学生的思维能力

数学课堂的核心是思维，而设置问题是让学生实现有效思维的方法，正确引导学生基于问题有效、高效地思维，能激发学生求知的欲望，不断提升学生的数学思维能力，从而使学生获得可持续发展的能力。

【案例】《平行四边形的面积》教学片段：

师：今天，我们一起来学习—平行四边形的面积。每个小方块的面积是1平方厘米，你能知道下面图形的面积是多少吗？

生：它们的面积都12平方厘米。

师：有的同学很快数出来，请你说说是怎样数的？

生：因为图二和图三都可以拼成一个长方形？

师：同学们真聪明！这些不规则的图形可以转化成我们认识的图形—长方形

这里用到了我们数学上一种很重要的思想方法—转化。运用“转化”这种数学思想方法可以帮助我们更容易地解决问题。

出示一个平行四边形

师：你能想办法求出这个平行四边形的面积吗？要想求它的面积，我可以量出它的哪些边的长度呢？请你们互相交流讨论，再动手量一量吧。

师：你量了平行四边形哪两条边的长度呢？怎样计算它的面积？

生1：我量了平行四边形的底是6厘米，旁边的一条边5厘米，面积是6×5=30（平方厘米）

生2：我量了平行四边形的底是6厘米，高是4厘米，面积是6×4=24（平方厘米）

师：两个同学用了不同的方法求出了平行四边形的面积，究竟是哪种方法才对呢？

师：请同学们四人小组进行讨论。并说说你们是怎么想的。

生：我们沿着平行四边形的高把图形剪开，将左边的三角形拼到右边，正好拼成一个长方形，它的长是6厘米，宽是4厘米，面积是24平方厘米。

师：把平行四边形割补成长方形，图形的什么变了，什么没变了？

生：图形的形状变了，面积大小没有变。

师：所以，原来的平行四边形的面积是28平方厘米。还有不同的想法吗？

生：我们是用平行四边形的底6厘米乘它的邻边5厘米，面积是30平方厘米。

师：你们真棒！敢于思考！让我们一起来检验用底乘邻边这种方法对不对？

师：现在，老师把长方形拉成平行四边形，平行四边形的底及邻边的长各是多少？面积与原长方形相比，有什么变化？

生：底与邻边的长分别是6厘米和5厘米，但面积比刚才的长方形面积小。

师：如果继续往下拉，想一想平行四边形的面积将会有什么变化？

生：平行四边形的面积将会变小。

师：你们发现了什么呢？

生：平行四边形的面积不能用底与邻边相乘，而应该用割补的方法将平行四边形转化成长方形来算出它的面积。

师：是不是所有的平行四边形都能用割补的方法转化成长方形呢？请同学们拿出各自的平行四边形动手剪一剪，拼一拼，看看行不行。

……

【评析】问题是思维的导火线，是学生学习的内驱力。在课堂教学上，教师精心设计问题，一步一步地引导学生去思考，去探究，使学生对学习内容理解清晰，有利于活跃学生的思维，激发学生学习的欲望，从而提高学习的效率。上述案例，教师先复习旧知识运用数方格来求长方形的面积，再引导学生猜测平行四边形的面积，最后进行操作验证。这样的教学过程，既渗透了从特殊到一般的推理方法，又渗透了“转化”的数学思想。启发学生运用求证、整理性的思维方法，培养了学生的逻辑思维能力和数学精神。

二、利用数形结合，发展学生的思维能力

数形结合就是通过（数量关系）与形（空间形式）的相互转化、互相利用来解决问题的一种思想方法。它可将抽象的数学语言与直观的图形结合，是抽象思维与形象思维的结合。在小学数学教学中，巧妙应用数形结合的数学思想方法，发挥数与形两种信息的转换及其优势互补与整合，让学生以形想数、以数想形、数形结合，有利于促进学生形象思维和想象能力的发展。

【案例】六年级上册《分数乘分数》教学片段 ：

（四）数形结合，提炼方法

师：刚才我们发现两个分数相乘，分子相乘就是得数的分子，分母相乘就是得数的分母。那为什么可以这样做呢？

理解算理：

师：我们用 × 作例子，结合图来理解算理。

师：想一想，为什么要用4和5相乘的积作分母？4表示什么？5又表示什么？

生：4表示把整张纸平均分成了4大份。

生：5表示又把每大份分成了5小份。

师：说得很清楚，同学们是这样吗？

师：对了，所以4×5算的是把整张纸一共分成了20小份。

师：那为什么要用3×3相乘的积作分子呢？

生：3表示先取了3大份，每一份又取了3小份，所以一共取了9小份。

师：所以这个计算过程中，分母乘分母算的是把整张纸（单位“1”）一共分了多少小份，分子乘分子算的是一共取了多少小份，看来这个计算的过程，就是我们画图的过程，那么现在你觉得这样算有道理吗？

生：有。

师：谁来说说怎样计算分数乘分数？

生：用分子相乘的积作分子，作分母相乘的积作分母。

……

【评析】“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”。确实，以形思数，以形助数、数形对照，有利于学生理解算理，把握算法。本节课由于分数乘分数算理较难理解，教师采用了“数形结合”的方法，借助图形的直观，逐步引导学生在长方形之上表示出四分之三的五分之三，使学生清晰地理解分数乘分数的算理，突破了本节课的难点，使学生经历了分数乘分数算法的探索发现过程，体会感悟数学知识背后更为本质的东西—知识的来龙去脉、数学的思想方法，数学活动经验的积累，促进学生思维的发展。

三、巧借几何直观，提升学生的思维能力

课程标准指出：“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想…”将“几何直观”列为课程目标的十个核心概念之一。几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。在教学过程中，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象、有助于探索解决问题的思路，预测结果，并且可以帮助学生更好地表达、解释、分析数学，是学生进行有效数学理解的重要手段，是促进学生思维能力发展的良好载体。

【案例】莫教师执教的《圆的面积》教学片段：

（三）探究圆面积的研究方法

师：同学们，还记得长方形、平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式是怎样推导出来的吗？

课件演示

师：同学们，我们运用了剪拼或直接拼合的方法来推导出平面图形的面积计算方法。那么，今天我们来看看是否可以运用这两种方法来研究出圆的面积计算方法呢？

师：这些图形主要通过数方格、剪拼或直接拼合来转化成已学的图形。今天我们能否也利用这些方法来研究圆的面积计算呢？

1．直接拼合的方法

师：直接拼合的方法可以转化成已学的图形吗？

生 ：不可以。

2．数方格（方中数圆）

（1）数一数：（每一小格代表1平方厘米，不足一格的按半格来计算）

师：请问该怎么数才比较快数出圆的面积呢？

生：先数满格的，再数不足一格的。

生 ：先数出 圆的面积，再乘4。

师：有同学认为先数出 圆的面积，再乘4，我们来看看这样数是否会快些？

师：那 圆的面积大约是多少呢？

生：大约12.5平方厘米。

师：那么怎样算出整个圆的面积？

生：用12.5×4就是整个圆的面积。

师：请同学们根据刚才算出的数据填在表格里。

圆的半径（厘米）	正方形的面积（平方厘米）	圆的面积（平方厘米）	圆的面积大约是正方形面积的几倍（精确到十分位）
4	4×4=16	50	50÷16≈3.1

师：现在请同学们四人小组合作，数出这两个圆的面积，再完成表格，看看有什么发现？

②指名小组汇报

圆的半径（厘米）	正方形的面积（平方厘米）	圆的面积（平方厘米）	圆的面积大约是正方形面积的几倍（精确到十分位）
4	4×4=16	50	50÷16≈3.1
3	3×3=9	28	28÷9≈3.1
5	5×5=25	78	78÷25≈3.1

（4）观察交流

师：观察三个图形，正方形的边长就是圆的什么？

生：半径。

师：圆的面积和正方形的面积有什么关系？

生：圆的面积大约是正方形面积的3.1倍。

师：圆的面积和它的半径有什么关系?

生：圆的面积大约是半径的平方的3.1倍

小结：我们运用数方格的方法得到圆的面积是它半径平方的3倍多一些，但是这个结果还不够精确，那怎样才能找更加科学的计算方法呢？

3．剪拼方法（化圆为方）

师：把圆进行怎样的剪拼，才能把圆转化成已学的平面图形呢？

（1）剪一剪：四人小组进行讨论，并动手进行剪一剪。

（2）拼一拼：指名学生到台上拼一拼后明确拼法。

师：拼成的图形像什么？

生：像一个平行四边形。

师：请同学们仔细观察，把圆平均分成16份，32份，64份，剪拼后的图形它们有什么变化？（课件显示剪拼过程）

生：越来越接近一个长方形。

师：如果把圆平均分成128份…一直这样下去分成很多很多份，剪拼后的图形会是一个近似于什么样的图形？

生：更像一个长方形。

师：那么拼出来的这个长方形和圆形之间有什么关系呢？

生：拼出来的这个长方形的面积等于圆形的面积。

师：拼成的长方形的长相当于圆的哪一部分？宽又相当于圆的哪一部分？

生：拼成的长方形的长相当于圆的周长的一半，宽相当于圆的半径。

2．汇报结果

（1）拼出来的这个长方形和圆形的（面积相等）。

（2）转化后，长方形的长相当于（圆周长的一半），宽相当于圆的（ 半径 ）（3）因为，长方形的面积=长×宽

所以，圆的面积=圆周长的一半×半径

用字母表示： S=pr×r

=pr²

……

【评析】1.本节课教师首先让学生通过观察，得出用直接拼合的方法是不能将圆转化成已学的图形。接着在“方中数圆”的环节中，通过数与形的结合，引导学生得出“圆的面积是圆半径平方的3倍多一些”，渗透了数形结合的数学思想。最后为了数据更加科学，又设计了“化圆为方”的环节进行验证，让学生采取“化曲为直”的数学思想方法，把圆平均分成8等份、16等份…进行剪拼，在多次剪拼的过程中，通过不断地探究，交流，经历圆的面积计算公式的形成过程。使学生从长方形面积计算公式中抽象出圆的面积计算公式。为学生的空间想象打基础，为直观洞察做铺垫，有效利用几何直观帮助学生学会了一种很重要的数学思想方法—转化。形象直观的教学过程使学生学会正确地思考的探究，培养学生科学合理的思维方法。

总之，数学思维能力的培养既要从教学实际出发，又要以学生为核心，教师不断地发掘与创新有助于学生数学思维有力培养的方法，通过等多种方式问题设置、数形结合、几何直观等多种方法去促进学生的自主探究、探索思考，充分激发学生学习数学的兴趣，进而培养学生的数学思维能力，为学生日后的发展打下坚实的基础。