建立数学模型“巧解”应用题

张启芝

张启芝（宿迁市来龙高级中学，江苏宿迁223851）

数学应用题的文字叙述长，数量关系分散而难以把握。因此，在平时的解题训练中，加强阅读理解能力的培养与提高就显得尤为重要。解答数学应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理选取参变数，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式、三角等数学模型；最终求解数学模型，使实际问题获解。一般的解题程序是：

应用题经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题。解决这类问题的关键是建立相关的数学模型，然后应用函数、方程、数列、不等式、三角的有关知识加以综合解答。

题型一：分段函数模型

一辆汽车在某路段中的行驶速度与时间的关系如下图所示。

（1）求图中阴影部分面积，并说明所求面积的实际意义；

（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段里程时汽车里程表读数s与时间t的函数解析式，并作出相应图像。

解：（1）阴影部分的面积为：50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360，阴影部分的面积表示汽车在这5小时内的行驶路程为360km。

（2）根据图，有

这个函数的图像如上图所示。

解题回顾：在解决实际问题过程中，函数图像能够发挥很好的作用，因此我们应该注意提高读图的能力。

题型二：分式函数模型

如下图，一书页的面积为600cm2，要求书页的上方空出2cm的边，下边、左边、右边都空出1cm的边。为使中间文字部分的面积最大，这页书的宽与长分别应该是多少？并指出文字部分面积的最大值。

这页书的长宽分别为30cm、20cm时文字部分面积最大，最大面积为486cm2。

解题回顾：解本题的关键有两点：（1）建立适当的目标函数（即将实际问题数字化）；（2）用所学的不等式知识求出面积最大值。

题型三：二次函数模型

某桶装水经营部每天的房租、人员工资固定成本为200元，每桶水的进价是5元。销售单价与日均销售量的关系如下表所示：

请根据以上数据作出分析，这个经营部如何定价才能获得最大利润？

解：根据表中数据，销售单价每增加1元，日均销量减少40桶。设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，在此情况下的日均销售量就为480-40（x-1）=520-40x（桶）

由于x>0，且520-40x>0，即0<x<13，

于是可以得y=（520-40x）x-200=-40x2+520x-200，0<x<13.

易知，当x=6.5时y有最大值。

所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大利润。

解题回顾：这是一道通过表格提供具体信息的实际问题，解题时要仔细阅读观察表格所提供的信息内容，找出有价值的信息（即销售单价每增加1元，日均销量就减少40桶），建立出适当的数学模型。

题型四：含无理函数的模型

如下图，100公里路长的铁路线AB之旁的C处有一个工厂，与铁路的垂直距离为20公里，由铁路上的B处向工厂提供原料，公路与铁路每吨公里的货物运价比为5：3，为节约运费，在铁路的D处修一货物转运站，沿CD修一公路，为了使原料从B处运至工厂C处的运费最省，D点应选在何处？

解1：设AD为x公里，铁路上每吨公里的运费为3k，公路上每吨公里的运费为5k，记B到C的运费为y，

得|t|≥80.即当t=80时，x=15，此时y≥300k+80k=380k有最小值，即当点D取距A点15公里时，总运费最省。

即当点D取距A点15公里时，总运费最省。

解题回顾：引入的参数不同，对应的数学模型就不同。求函数最小值时，解2要比解1简便，所以选择参数更加重要。

题型五：指数函数模型

某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：

（1）根据上表提供的数据，能否建立适当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式；

（2）若体重超过相同身高男性体重

平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏

瘦，那么这个地区一身高为175cm，体重为78kg的在校男生的

体重是否正常？

解：（1）以身高为横坐标，画出散点图，根据这些点的分布情况，可以考虑用这一函数模型来近似刻画这个地区未成年男性体重y与身高x的函数关系。

取其中两组数据（70，7.90），（160，47.25），带入y=a·bx，得

这样我们就得到一个函数模型：y=2×1.02x，将已知数据带入上述解析式，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能够较好地反应这个地区未成年男性体重与身高的关系。

（2）将x=175带入y=2×1.02x，得y=2×1.02175，解得y≈63.98.

由于78&pide;63.98≈1.22>1.2，所以，该男生偏胖。

解题回顾：函数模型不是确定的，需要我们去探索、去尝试，找到合适的模型，其解题思路一般为：（1）做散点图；（2）选择函数模型：一般是根据散点图的特征，联想哪些具有类似图像特征的函数，找出几个比较接近的函数模型尝试；（3）求出函数模型：求出（2）中找到的几个函数模型的解析式；（4）检验：将（3）中求出的几个函数模型进行比较、验证，得出最合适的函数模型；（5）利用所求出的函数模型解决问题。

数学模型是数学知识与数学应用的桥梁，研究和学习数学模型，能帮助学生探索数学的应用，产生对数学学习的兴趣，培养学生的创新意识和实践能力，加强数学建模教学与学习对学生的智力开发具有深远的意义。