导数的应用误区

陈湘晖

陈湘晖湖南化工职业技术学院

导数作为一种工具，在解决某些数学问题时极为方便，尤其是利用导数可以判别函数的单调性，求极值及曲线的切线等。但是在学习过程中由于对导数概念的理解不清、理解不深刻而导致错误的情形时有发生，现对导数的应用误区做一些必要的剖析。

一定义理解不彻底

对导数的定义，我们应注意以下四点：

（1）增量Δx的形式是多种多样的，但不论Δx选择哪种形式，相应Δy中也必须选择对应的形式。

（2）函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在。

剖析：此题的证法表面上似乎无懈可击，但仔细分析证明的过程，它与定义不符合。该证法未能理解上述的四点（1），未能理解f'（x0）中的x0应当如何变化。

二几何意义的应用误区

一般地，已知函数y＝f（x）的图象是曲线C，P（x0，y0），Q（x0＋Δx，y0＋Δy）是曲C上的两点，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P转动。当点Q沿着曲线无限接近点P，即Δx趋向于0时，如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线。此时，割线PQ的斜率kPQ＝无限趋近于切线PT的斜率k，也就是说，当Δx趋向于0时，割线PQ的斜率kPQ＝的极限为k。

由此，可以利用导数求曲线的切线方程。具体求法分两步：

（1）求出函数y＝f（x）在点x0处的导数，即曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率。

（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y－y0＝f'（x0）（x－x0）。

特别地，如果曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线平行于y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为x＝x0。

导数的几何意义指出：函数在某点处的切线斜率即为函数在该点处的导数值。但利用该几何意义求曲线的切线方程时，要注意对切点位置的具体分析。

2．要注意区分“在点处”与“过点处”求曲线方程时的区别

其中在点处的点必为切点，过点处的点不一定是切点，在解题时要注意审题，加以区别。

例4，已知函数f（x）＝x3－x＋2，试问：过点P（1，2）的曲线y＝f（x）的切线有几条？如果是一条，写出该切线的方向向量；如果是两条，求出两直线的夹角；如果是三条，写出直线方程。

三导数与极值、最值的关系

1．误把极值当最值

函数的最值是较整个给定范围内的函数值得出的；函数的极值是较极值点附近函数值得出的。求最值时，只需把找出的可能是极值点的那些点处的函数值与给定范围的端点的函数值进行比较，就可以得出函数在给定范围上的最值了。设函数f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在［a，b］上的最大值与最小值的步骤如下：

当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0。

因此，只有x＝0为极小值点，而－1和1都不是极值点，从而应选D。

所以，在这里我们需明确，对于可导的函数而言，函数在某处取得极值，则函数在此处导数必等于0；反之，若导数在某处值为零，则函数在该点不一定取得极值，还需进一步检验f'（x）在f'（x）＝0的点的左右两边的符号变化。

五判断函数的单调性时忽略特殊情形