岩土工程可靠度分析的改进四阶矩方法刘庆鑫

刘庆鑫

辽宁大通公路工程有限公司沈阳110000

摘要：岩土工程可靠度分析中，功能函数往往呈隐式且具有强非线性性质，而目前最为实用的矩方法，如JC法、二次二阶矩法，主要适用于显式功能函数情形。为此，本文将高效的统计矩估计方法和可靠度分析的高阶矩法相结合，提出了一种岩土工程可靠度分析的改进四阶矩方法。首先，通过引入变量的独立化变换和线性变换将功能函数转换为参考变量的函数，并结合多变量函数的单变量降维近似方法和参考变量计算节点和权系数的确定方法，建立了功能函数前四阶矩的高效点估计法；然后，将上述统计矩与立方正态变换假设相结合，提出了易于实现的岩土工程可靠度分析的改进四阶矩方法。最后，由数学算例验证了统计矩估计方法的效率和精度，并通过经典的岩土工程算例验证了建议的改进四阶矩方法具有高效率、高精度且操作简单等特点。

关键词：岩土工程；可靠度分析；统计矩；线性变换；立方正态变换

1引言

由于材料性质、计算模型、荷载等的不确定性，岩土工程的分析和设计必定以可靠度为基础。由于原理简单、易于实现，以JC法和二次二阶矩法等为主体的矩方法得到广泛的应用。一般而言，上述简单的矩方法通常仅适用于显式功能函数情形，且当功能函数具有强非线性时计算精度亦很难保证。然而，岩土工程中由于材料性质的强随机性以及研究对象受力机理的复杂性，其功能函数通常为隐式函数，且具有较强的非线性，这限制了常规矩方法的应用。相比较而言，MonteCarlo法、随机有限元法、响应面法等较常规矩方法具有更广的适用范围，可用于岩土工程可靠度分析。

2可靠度设计水准

工程结构设计方法可分为经验安全系数法和概率设计法。经验安全系数法是将影响工程结构安全的各种参数按经验取值，一般为平均值或标准值，考虑这些参数的变异性对安全性的影响。概率设计法将影响工程结构安全的各种参数作为随机变量，用概率论和统计学来分析参数，或用可靠度分析工程结构在使用期限内满足基本功能要求的概率。现在工程结构设计领域已逐步由经验安全系数法向概率设计法转变。国际上将可靠度设计分为三个水准，水准Ⅰ、水准Ⅱ和水准Ⅲ。水准Ⅰ也称半概率设计法，在荷载和材料强度上考虑了概率原则，不从结构的整体性出发考虑工程结构的可靠度，无法确定工程结构的失效概率，且各分项安全系数主要根据工程经验确定。水准Ⅱ也称近似概率设计法，运用了概率论和数理统计的方法，对“可靠概率”做出较为近似的相对估计，但该方法只是一各近似的概率方法，是目前国际上已经进入实用阶段的概率设计方法。水准Ⅲ也称全概率设计法，将影响工程结构可靠度的所有因素用随机变量的概率模型描述，还考虑了时间因素，以失效概率作为工程结构可靠度的直接度量，是一种完全的、真正的概率设计方法。该方法要达到实用阶段还要很长时间。

3岩土工程可靠度分析

3.1岩土工程可靠度描述

一般而言，岩土工程可靠度分析的功能函数均可表示为式（1）的形式。例如，在边坡可靠度分析中，一般采用抗滑稳定安全系数K来验算，其功能函数可写为

Z=K(c,?,γ)-1=h(θ)（15）

式中：c、?、γ分别表示滑动面岩土的黏聚力，内摩擦角和容重，θ为此三者中的随机变量组成的向量。

3.2基于立方正态变换的可靠度分析方法

引入Z的标准化变量，即

Zu=（Z-μZ）/σZ（16）

其中：μZ、σZ分别为Z的均值和标准差。

根据立方正态变换假设，Zu可表示为

Zu=-l1+k1u+l1u2+k2u3（17）

式中：u为标准正态变量；系数l1、k1和k2的表达式为

l1=α3Z/6（1-6l2），

L2=1/36（√6α4Z-8α3Z2-14-2）（18）

k1=（1-3l2）/（1+l12-l22），

K2=l2/（1+l12+2l22）（19）

式中：α3Z、α4Z分别表示Z的偏度和峰度。于是，改进四阶矩方法对应的可靠指标β4M为

β4M=p/D-D+l1/3k2（20）

其中p和D的计算公式如下

需要指出的是，立方正态变换本身有一定的适用范围。

当1≤β2M≤2时，

应满足：0≤α3Z≤1.2/β2M，2.2+2α3Z≤α4Z≤7.5-α3Z

α3Z≤0,2.2+α3Z2≤α4Z≤7.5+α3Z2（23）

当2≤β2M≤5时，

应满足：0≤α3Z≤1.2/β2M，2.7+1.5α3Z≤α4Z≤5.2-2α3Z

α3Z≤0,2.7+α3Z2≤α4Z≤5.2+α3Z2（24）

3.3实现步骤

岩土可靠度分析的改进四阶矩方法的实现步骤如下：

（1）根据已知概率信息，引入Rosenblatt变换或Nataf变换将θ的子向量θb独立化，进而将θ转化为独立随机向量X，再通过线性变换进一步转化为参考向量Y。

（2）根据上述方法，求得Yi的计算点yi,j及权系数Pi,j。

（3）根据式（18），（19）求出系数l1，l2，k1和k2，然后利用式（20）得到可靠度指标β4M。

4结束语

由于材料特性的强不可控性以及受力机理的复杂性，岩土工程可靠度的功能函数往往呈隐式且具有强非线性性质，而目前最为实用的矩方法，如JC法、二次二阶矩法等，主要适用于显式功能函数情形。本文在发展新的高效统计矩点估计方法的同时，将其与立方正态变换假设相结合，提出了岩土工程可靠度分析的改进四阶矩方法。经由算例分析可得到如下结论：（1）由于避免了函数偏导数的计算，本文方法应用范围广泛，既适用于具有显式功能函数的岩土工程可靠度问题，亦适用于功能函数为隐式的岩土工程可靠度分析。（2）本文方法在统计矩计算和可靠指标求解过程中，既不涉及偏导数运算，亦不涉及复杂方程组求解，具有简单易行的特点。（3）建议的岩土可靠度分析方法具有较高的计算精度和很高的计算效率。

参考文献：

[1]陈祖煜.建立在相对安全率准则基础上的岩土工程可靠度分析与安全判据[J/OL].岩石力学与工程学报:1-23.

[2]刘林,陈汉,黎冠楠.随机响应面法在岩土工程可靠度分析中的应用[J].甘肃水利水电技术,2017,53(06):26-29+65.

[3]程晔,周翠英,文建华,黄林冲.基于响应面与重要性抽样的岩土工程可靠度分析方法研究[J].岩石力学与工程学报,2010,29(06):1263-1269.

[4]刘山文,王亚伟,张芹.有复杂性极限状态方程的岩土工程可靠度分析[J].四川建筑,2007(02):119-120.

[5]严春风,刘东燕,张建辉,朱可善.岩土工程可靠度关于强度参数分布函数概型的敏感度分析[J].岩石力学与工程学报,1999(01):37-40.