深入分析，培养探究能力

周柯

江苏徐州市贾汪区英才中学周柯

徐州市2010年中考数学第27题是一道难得的好题，一方面取材于学生最熟悉的正方形，通过折叠分析问题考查学生的动手操作与动脑思考的分析能力；另一方面，问题逐步递进，从考查梯形中位线性质过渡到相似三角形知识，以至于引导学生利用代数知识分析几何问题，题目看似简单，实质上覆盖了许多知识点并突出对学生能力的考查。鉴于笔者对该题的欣赏，便对问题做了一些发散思考，旨在能全面地认识图形更多的内涵。

题目：如图（1），将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP．

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(1)如图（2），若M为AD边的中点，

①△AEM的周长=_____cm；

②求证：EP=AE+DP；

(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置，△PDM的周长是否发生变化?请说明理由．

下面就第（2）问分析与解答，令正方形的边长为acm，下面解答第（2）问：

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∴△PDM的周长保持不变。

从这个解题过程中可以得出结论，△PDM的周长等于正方形的2倍。当我们观察图形可以看出：DM+DP+PM=DM+AM+DP+PC,即PM=AM+PC.反之，能否先得出PM=AM+PC，从而证明第（2）问的问题呢？

探究一：如图（3），连接BM、BP,作BG⊥MN,垂足为G,由折叠得点B与点M关于EF对称，则EF垂直平分BM，所以BE=BM，所以∠EBM=∠EMB,

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所以△PDM的周长保持不变。

在以上证明中可以得出：∠ABM=∠GBM,∠GBP=∠CBP,所以∠MBP=,猜想：在正方形ABCD中，当∠MBP=时，是否成立PM=AM+PC?

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当完成探究二之后，我们忽然发现在这个简单的图形中包含着许多奥秘！即如图(5),正方形ABCD中，用含角的直角三角板BEF的锐角顶点与点B重合，使BE、BF分别与AD、CD相交于点M、P，以点B为中心旋转三角板BEF，在旋转过程中下列结论始终成立：

①PM=AM+PC,②△PDM的周长保持不变,③BP、BM分别是∠CPM和∠AMP的角平分线。

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正方形与等腰直角三角形是我们最熟悉的两个基本图形，不过当这块三角板在正方形内部旋转时，其中却蕴含着那么多深刻的联系，这或许就是几何图形内在的优美品质。