发挥课本习题的最大价值

吴日明

福建省邵武市明鸿中学吴日明

《四边形》的内容，是在学生学习了“空间与图形”有关知识（直线、线段、射线、角、相交线与平行线、三角形、全等三角形、角平分线、线段垂直平分线、图形变换）等有关知识后所学习的，这章对培养学生的逻辑推理能力是大有好处的，但可惜的是有些教师在讲解这章的一些习题时只是就题论题，没有对解决这些问题中的思想方法进行归纳总结，也没有抓住这些习题的本质进行拓展、延伸，下面笔者就对课本一道经典习题的教学来谈谈。

原题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是BC边的中点，∠AEF=90º，且EF交正方形，外角平分线CF于点F，求证：AE=EF

（人教实验版数学八年级下册教科书第122页第15题）

一、在解法上进行拓展

证明：如图2，取AB的中点M，连接EM，证明△AME≌△ECF，从而得出结论（课本证法）。

由于此解法基本思想就是构造全等三角形，因此不妨碍△FEC沿BC边所在直线翻折或△ABE沿AB所在直线翻折，于是就有：

证法2：如图3，连AC，并延长到H，使CH=CF，连EH

∵四边形ABCD为正方形

∴∠ACB=∠ACD=45º

∵CF平分∠DCM

∴∠DCF=∠FCM=45º

∴∠AEF=∠ACF=90º∴∠EAC=∠F

∵EC=EC，∠ECF=∠ECH=135ºCF=CH

∴△FCE≌△HCE

∴∠H=∠F，EF=EH

∴∠EAC=∠H∴AE=EH∴AE=EF

证法3：如图4，分别延长AB，FC线交于H点，连EH，可得AE=EH=EF，证明过程略。

二、在题目变化上进行拓展

本题的证明主要通过构造与AE、EF所在的三角形全等的三角形实现，本题的条件有四个：①四边形ABCD是正方形。②点E是BC边的中点，③∠AEF=90°，④CF是∠PLM的平分线。在上述四个条件中，在上述证法中点E是BC边的中点实际上不起主要作用，因此，考虑一：以①、③和④三点作为条件时，考虑二：①主要用到了正方形四边相等，四个角相等均为直角，它与条件③和④合在一起，为证明三角形全等创造了条件，因此考虑在正方形中存在的规律是否存在于其它正多边形中。

基于以上缘由，为了充分彰显本题的潜能，可进行下面的拓展延伸：

由考虑一，可以进行如下变式：

变式一：其他条件不变，如果点E是正方形ABCD的边BC的任意一点，命题还成立吗？

变式二：其他条件不变，如果点E在正方形ABCD的边BC的延长线上任意一点时，命题还成立吗？

变式三：其他条件不变，如果点E在正方形ABC的边CB的延长线上的任意一点时，命题还成立吗？

子曰：“学，然后知不足；教，然后知困”我们对习题的讲解绝不能停留在感性上，要对习题进行理解、运用、拓展与延伸，及时解惑，知其所以然，这样既能使学生思维缜密，养成严密推理的习惯，又能使学生增长知识，激发学生的求知欲，从而形成能力，达到教学相长，何乐而不为呢？