图形的旋转在解题中的一些应用举例

卢海兰

在新教材中增加了图形的旋转内容，讲过这节内容开始没有觉得有什么特别之处，但在后来的逐步学习过程中，感觉它有很多应用的价值，利用它能够打破常规巧妙地进行解题。

旋转的定义是：在平面内将一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转。它具有以下性质：①旋转前后的图形全等②对应点到旋转中心的距离相等③每一对对应点与旋转中心的连线所成的角相等。旋转变换是一种重要的几何变换，进行几何变换的目的有两个：①揭示几何图形的性质或几何量之间的内在联系②使分散的元素集中从而使表面互不相干的条件变得密切相关。借此通过在教学过程遇到的一些事例列举，以供大家彼此探讨：

例1、如图，正方形ABCD的边长为，将正方形OMNP的一顶点O放在正方形ABCD的对角线AC、BD的交点O处，你能求出两正方形重叠部分的面积吗？

分析：易得△OBE≌△OCF，

将△OBE绕点O旋转90°可以得到

△OCF，，所以阴影部分OECF的面积

=△OEC的面积+△OCF的面积

=△OEC的面积+△OBE的面积

=△OBC的面积=

例2、如图所示，设P等边△ABC内的一点，∠APB=113°，∠APC=

123°，问：①PA、PB、PC能否构成三角形？

②如果能构成三角形，请找出构成三角形各内角的度数

分析：将△CPA绕点C按逆时针方向

旋转60°，则CA与CB重合，PA旋转到

P′B处，PC旋转到P′C处，则△CPP′是等

边三角形，从而PP′=PC。这样线段PA、

PB、PC就集中到△BPP′中了，从而可以看出

PA、PB、PC能构成三角形。∠BPC=360°－∠APB－∠APC=360°－113°－123°=124°，∠BP′C=∠APC=123°，从而∠BP′P=∠BP′C－∠PP′C=123°－60°=63°，∠BPP′=∠BPC-∠CPP′=124°－60°=64°，∠PBP′=180°－63°－64°=53°

例3、如图所示，正方形ABCD内有一点P，且PA=1，PB=2，PC=3。求：∠APB的度数。

分析：将△APB绕点B顺时针旋转90°，

得△CP′B，则△CP′B≌△APB，

所以BP′=BP=2，P′C=PA=1，

∠PBP′=90°，连接PP′，由勾股定理得

再由，可推出

△PP′C是直角三角形，从而得∠PP′C=90°，又由∠BP′P=45°，可得∠APB=∠BP′P=∠BP′P+∠PP′C=45°+90°=135°

例4、在四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，AH⊥BC，AH=1。试求：四边形ABCD的面积。

分析：根据图形的特点，以点A为旋转中心

将△AHD按逆时针方向旋转90°到△AH′D，可说明四边形AHCH′是正方形，从而可得出四边形ABCD的面积就是正方形AHCH′的面积，即

例5、如图，正方形ABCD中，∠MAN=45°试说明：MN=BM+DN

分析：由所要说明的结论想到要将BM、DN转移到同一条直线上。将△ABM绕点A逆时针旋转90°后，BM旋转到了DM′的位置后与DN在同一条直线上，

则△ABM≌△ADM′，则BM=DM′，AM=AM′，∠BAM=∠DAM′由∠MAN=45°可推出∠BAM+∠DAN=45°，于是∠M′AN=∠DAM′+∠DAN=∠BAM+∠DAN=45°，可以推出△AMN≌△AM′N（SAS），于是可得MN=M′N=DM′+DN=DM+DN

通过以上例子可以看出，旋转变换可以将一些看起来较难的问题得到巧妙的解决。平时应，注意培养学生利用旋转的思路解题，让学生体会添加辅助线的技巧，开拓学生的思路，提高学生的解题能力。