关于协整与误差修正模型的建立

艾云辉郭文娟

1.单位根检验及相关理论的介绍1.1单位根过程的介绍。如果一个时间序列的均值和自协方差函数随时间而改变，那么这个序列就是非平稳时间序列。随机过程{yt}t=1,2,…,若yt=ρyt-1+εt其中ρ=1，εt为一稳定过程，且E(εt)=0，Cov(εt,εt-s)=μ＜∞,这里s=0、1、2…，则称这个过程为单位根过程（UnitRootProcess）。若单位根过程经过一阶差分成为平稳过程，即yt-yt-1=(1-β)yt+εt（1.4）则称时间序列yt为一阶单整（Integration）序列，记作I(1)。一般的，如果非平稳时间序列xt经过d次差分达到平稳，则称其为d阶单整序列，记作I(d)，其中，d表示单整阶数，是序列包含的单位根个数。1.2单位根检验的介绍。单位根检验是检验时间序列平稳性的一种正式的方法。1.2.1DF检验。Dickey和Fuller(1979)最先使用上述理论对时间序列中的单位根进行检验。由于模型中带常数项与否直接关系到检验统计量的最终极限分布，因此要根据产生数据过程的不同，相应地分成几种情形进行讨论:（i）H0∶yt=yt-1+μt(1.5)H1∶yt=ρyt-1+μtρ＜1(1.6)这是检验随机游走对一阶平稳自回归过程AR（1）模型。（ii）H0∶yt=yt-1+μt(1.5)H1∶yt=ρyt-1+u+μtρ＜1(1.7)这是检验随机游走对带有漂移的平稳AR（1）模型。（iii）H0∶yt=yt-1+μt(1.5)H1∶yt=ρyt-1+u+λt+μtρ＜1(1.8)这是检验随机游走对带有漂移和决定性时间趋势的平稳AR（1）模型。对于三种情况的原有DF检验的检验统计量定义如下：检验统计量=SE＾()(1.9)由于原假设是非平稳的，所以检验统计量并不像通常原假设情况下的t分布，而是遵循一种非标准分布。1.2.2ADF检验。在DF检验中只有当μt是白噪声时，检验才会有效。特别地，如果尚未予以建立回归模型的因变量是自相关的话，那么μt也将是自相关的。如果是这样，那么检验将是“太大”了，即检验的真实性程度的大小将高于名义程度的大小（比如5%）。其解决的办法是使用因变量的p阶滞后来“扩展”检验。对于情况（i），可供选择的模型可表示为：Δyt=ψyt-1+∑pi=1aiΔyt-i+μt(1.10)Δyt的滞后项现在能“吸收”因变量中出现的任何动态结构，以确保μt没有自相关。这种检验称为增广的迪基—富勒检验（记作ADF）它仍然是针对ψ进行检验，而且仍然使用前面的DF检验中的同样的临界值。ADF检验所面临的问题是如何确定因变量的最优滞后阶数。这里有两种方法来确定。①运用数据的频率来决定。例如，如果数据时月度的，使用12阶滞后，如果是季度数据，使用4阶滞后，以此类推。但是，在包含高频率的金融数据（比如小时或天）的回归中，就没有办法对滞后阶数作出明确的选择了。②可以运用信息准则来决定［7］。

2.协整与误差修正模型的理论介绍有些时间序列，虽然它们自身非平稳，但其某种线形组合却平稳。这个线形组合反映了变量之间长期稳定的比例关系，称为协整（Conintegration）关系。2.1协整的定义和协整检验。2.1.1协整的定义。如果时间序列y1t·y2t·Kynt，都是d阶单整，即I(d),存在一个向量α=(α1,α2，Kαn)，使得αyt~I（d-b）这里yt=(y1t,y2t,Kynt)，d≥b≥0,则称序列y1t·y2t·Kynt是（d,b）阶协整的，记为yt~I(d-b)。2.1.2协整检验。协整检验从检验的对象上可以分为两种：一种是基于回归系数的协整检验；另一种是基于回归残差的协整检验，如DF检验、ADF检验。1987年Engle和Granger提出的协整检验方法，这种协整检验方法是对回归方程的残差进行单位根检验。从协整理论的思想来看，自变量和因变量之间存在协整关系。也就是说，因变量能被自变量的线性组合所解释，两者之间存在稳定的均衡关系，因变量不能被自变量所解释的部分构成一个残差序列，这个残差序列应该是平稳的均衡的。因此，检验一组变量之间是否存在协整关系等价于检验回归方程的残差序列是否是一个平稳序列。通常用ADF检验来判断残差序列的平稳性，进而判断因变量和解释变量之间的协整关系是否存在。对残差序列进行ADF检验，来判断残差序列是否平稳，进而确定回归方程的变量之间是否存在协整关系，同时可以判断模型设定是否正确。如果残差序列是平稳的，则回归方程的设定是合理的，说明回归方程的因变量和解释变量之间存在稳定的均衡关系；反之，说明回归方程的因变量和解释变量之间不存在稳定均衡关系，即便参数估计的结果很理想，这样的一个回归也是没有意义的，模型本身的设定出现了问题，这样的回归是一个伪回归。Engle和Granger两步方法：这是一种单一方程技术，其操作步骤如下：第一步：确保所有的变量都是I（1）的，然后运用OLS法来估计协整回归。保留协整回归中的残差ut，检验这些残差以判断它们是否是I(0)的。如果它们是I(0)的，进入第二步，如果它们是I（1）的，则估计只包含一阶差分的模型。第二步：把第一步的残差作为误差纠正模型的一个变量，即：Δyt=β1Δx1+β2(ut-1)＾+vt(1.11)式中，ut-1＾=yt-1-τxt-1＾。平稳变量的线性组合也称之为协整向量。2.2误差修正模型。［31］［32］［33］2.2.1误差修正模型。误差修正模型（ECM）是一种具有特定形式的计量经济模型，它的主要形式是由Davidson,Hendry,Srba和Yeo于1978年提出的，称为DHSY模型。其基本思路是，若变量间存在协整关系，即表明这些变量间存在长期稳定的关系，而这种长期稳定的关系是在短期动态过程的不断调整下得以维持。产生这种结果的原因在于，大多数的经济时间序列的一阶差分是平稳序列。同时，存在着某种联系方式（如线性组合）把相互协整过程和长期稳定均衡状态结合起来。这时相互协整隐含的意思是：即使所研究的水平变量各自都是一阶差分后平稳，受支配于长期分量，但这些变量的某些线形组合也可以是平稳的，即所研究变量中的长期分量相互抵消，产生了一个平稳的时间序列。之所以能够这样，是因为一种调节过程——误差修正模型——在起作用，防止了长期关系的偏差在规模或数量上的扩大。因此，任何一组相互协整的时间序列都存在误差修正模型，反映短期调节行为。假设两变量X与Y的长期均衡关系如（1.12）式：Yt=α0+α1Xt+μt(1.12)由于现实经济中X与Y很少在均衡点上，因此我们实际观测到的只是X和Y间的短期的或非均衡的关系，假设具有如下（1，1）阶分布滞后形式：Yt=β0+β1Xt+β2Xt-1+μYt-1+εt(1.13)该模型显示出第t期的Y值，不仅与X的变化有关，而且与t-1期X与Y的状态值有关。由于变量可能是非平稳的，因此不能直接运用OLS法，对（1.13）式变形得：ΔYt=β0+β1ΔXt+(β1+β2)Xt-1-(1-μ)Yt-1+εt=β1ΔXt-(1-μ)［Yt-1-β01-μ-β1+β21-μXt-1］+εt或ΔYt=β1ΔXt-λ(Yt-1-α0-α1Xt-1)+εt（1.14）λ=1-μα0=β0/(1-μ)α1=(β1+β2)/(1-μ)上式为一阶误差修正模型。其中（1.13）式可以写成：ΔYt=β1ΔXt-λecm+εt（1.15）其中ecm表示误差修正项，由（1.15）可知，一般情况下|μ|＜1，所以有0＜λ＜1。我们可以据此分析ecm的修正作用：(1)若(t-1)时刻Y大于其长期均衡解α0+α1X，ecm为正，则(-λecm)为负，使得ΔYt减少；(2)若(t-1)时刻Y小于其长期均衡解α0+α1X，ecm为负，则(-λecm)为正，使得ΔYt增大；（1.15）体现了长期非均衡误差对的控制。需要注意的是，在实际分析中，变量常以对数的形式出现。其主要原因在于变量对数的差分近似地等于该变量的变化率，而经济变量的变化率常常是稳定序列，因此适合于包含在经典回归方程中。于是长期均衡模型

Yt=α0+α1Xt+μt中的α1可视为Y关于X的长期弹性，而短期非均衡模型（1.13）中的β1可视为Y关于X的短期弹性。更复杂的误差修正模型可依照一阶误差修正模型类似地建立。2.2.2误差修正模型的建立。建立误差修正模型一般采用两步，分别建立区分数据长期特征和短期特征的计量经济学模型。从理论上讲，第一步，建立长期关系模型。即通过水平变量和OLS法估计出时间序列变量间的关系。若估计结果形成平稳的残差序列时，那么这些变量间就存在相互协整的关系，长期关系模型的变量选择是合理的，回归系数具有经济意义。第二步，建立短期动态关系，即误差修正方程。将长期关系模型中各变量以一阶差分形式重新加以构造，并将长期关系模型所产生的残差序列作为解释变量引入，在一个从一般到特殊的检验过程中，对短期动态关系进行逐项检验，不显著的项逐渐被剔除，直到最适当的表示方法被找到为止。值得注意的是，作为解释变量引入的长期关系模型的残差，代表着在取得长期均衡的过程中各时点上出现“偏误”的程度，使得第二步可以对这种偏误的短期调整或误差纠正机制加以估计。需要注意的是，在进行变量间的协整检验时，如有必要可在协整回归式中加入趋势项，这时，对残差项的稳定性检验就无须再设趋势项。另外，第二步中变量差分滞后项的多少，可以根据残差项序列是否存在自相关性来判断。如果存在自相关，则应加入变量差分的滞后项。参考文献

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